Аналитический метод определения перемещений в балке при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Вычисление прогибов и углов поворотов сечений.

Наиболее типичной схемой нагружения является изгиб балки, расположенной на двух опорах, под действием внешней поперечной сосредоточенной силы, лежащей в одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения балки.

При изгибе балки происходит искривление ее оси в плоскости действия внешней силы. Искривленная ось балки может описываться уравнением в дифференциальной форме, которое называется уравнением упругой линии балки и имеет общий вид:

± EJ (d²y/dx²) = M или ± EJ y″= M

Где Е – модуль упругости первого рода,

Y - перемещение сечения балки,

J_z = bh³/12 -экваториальный момент инерции сечения балки относительно оси z.

М – изгибающий момент в сечении.

y' = dy/ dx = tg θ

где θ - угол поворота сечения балки при нагружении изгибающей нагрузкой.

Ввиду малости прогиба по сравнению с длинновыми размерами балки можно принять tg θ = θ

Уравнение прогибов сечений: Для первого участка:

EJY = - F(L-a)x₁³/6L + Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Для второго участка

EJY = - F(L-a)x₂³/6L +F(x₂-a)³/6+ Fa(L-a)(2L-a)/6L;

Полученные зависимости позволяют определить прогибы и на консольном участке балки.

Преимущество аналитического метода- высокая точность расчетов,а недостаток – сложность и громоздкость.

Дата добавления: 2015-07-25