Дифференциал.

Пусть функция у = f (x) дифференцируема в точке х₀, т. е. ее приращение D у можно представить в виде

D у = f ¢ (x₀) D x + (D x), (18.19)

где слагаемое f ¢ (x₀) D x – главная, линейная относительно D x частьприращенияфункции, называемая дифференциалом функции у = f (x) в точке х₀ и обозначаемая символом d y или
d f (x₀), таким образом

	d y = f ¢ (x0) D x

(18.20)

Приращение независимой переменной х назовем ее дифференциалом: d х = D x = х - х₀. Тогда формула (18.20) примет вид

	d y = f ¢ (x0) d x

(18.21)

Для запоминания: d y =у ¢ d х, т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (18. 21) вытекает, что f ¢ (x₀) = , т. е. производная функции в точке х₀ есть отношение дифференциала функции d y к дифференциалу d x независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал d y = f ¢ (x₀) d x функции у = f (x) в точке х₀ есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке х₀ (см. рис. 18.12).

Действительно, обозначим через у_кас ординату касательной к графику функции у = f (x) в

точке х₀:

у_кас - f (x₀) = f ¢ (x₀) (х – х₀),

или

D у_кас = f ¢ (x₀) D x,

т. е.

D у_кас = f ¢ (x₀) d x = d y.

Приближенное вычисление с помощью дифференциала.

Перепишем формулу (18.19) в виде D у = d y + (D x). Пренебрегая б. м. (D x) более высокого порядка, чем D x ®0 (слагаемое f ¢ (x₀)D x при f ¢ (x₀) ¹ 0 является б. м. одного порядка с б. м. D x ®0), получим: D у» d y, т. е. приращение функции приближенно равно дифференциалу функции в этой точке. Тогда f (x) - f (x₀) » f ¢ (x₀)D x или

	f (x) » f (x0) + f ¢ (x0)D x

(18.22)

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть у = f (x), где х – независимая переменная, тогда ее дифференциал в точке х имеет вид

d y = у¢ (x) d х (18.23)

Пусть теперь у = f (x), где х = j (t), т. е. х не является независимой переменной, а сама есть функция переменной t. Тогда найдем дифференциал сложной функции y = F (t) = f [ j (t)]: d y = F¢ (t) d t, где F¢ (t) = f¢ [ j (t)] j ¢(t), окончательно

d y = d F = f¢ [ j (t)] j ¢(t) d t.

А так как j ¢(t) d t = d х, j (t) = х, то последнее равенство имеет вид d y = у¢ (x) d х = f ¢ (x) d x (см. формулу (18.23)).

Вывод (инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала): вид дифференциала функции у = f (x) не зависит от того, является ли аргумент х независимой переменной или является функцией, т. е. зависимой переменной.

Это свойство дифференциала играет важную роль при вычислении неопределенных интегралов.

Дата добавления: 2015-07-20