Формула Тейлора для многочлена.

Рассмотрим многочлен степени п:

Р_п (х) = а ₀ + а ₁ х + а ₂ х ² + … + а_к х^к + …+ а_пх^п. (18.37)

Дифференцируя его п раз, получим

Р_п (х) = а ₀ + а ₁ х + … + а_пх^п,

Р ¢ _п (х) = а ₁ + 2 а ₂ х + …+ п а_пх^{п- 1},

(х) = 2•1• а ₂ + 3•2 •а ₃ х +… + п (п- 1) а_пх^п-2,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(х) = k •(k -1) … 2•1• а_к… + п (п- 1) … (п-к+ 1) а_пх^п-к,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(х) = п (п- 1)… 2•1• а_п.

Отсюда при х = 0 находим выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных:

Р_п (0) = а₀, Р ¢ _п (0) = 1! а₁, (0) = 2! а₂, …, (0) = п! а_п,

Таким образом, а_к = , k = 0, 1, …, п.

Подставим эти значения коэффициентов в (18.37):

Р_п (х) = Р_п (0) + (18.38)

Формула (18.38) представляет собой разложение многочлена P_n (x) по степени х и отличается от (18.37) только записью коэффициентов.

Найдем теперь разложение многочлена P_n (x) по степени х-х ₀, где х ₀ – некоторое фиксированное значение аргумента х:

P_n (x)= А ₀+ А ₁(х-х ₀)+ А ₂(х-х ₀)²+…+ А_n (х-х ₀) ⁿ. (18.39),

Дифференцируя (18.39) n раз, при х= х ₀ получим

А_к= , к = 0, 1, 2, …, n.

Подставим эти выражения для коэффициентов в (18.39), получим

Р_п (х) = Р_п (х ₀) + . (18.40)

Формула (18.40) называется формулой Тейлора для многочлена P_n (x) в точке х ₀. Ее частный случай (18.38) при х ₀ =0 называется еще формулойМаклорена.

Дата добавления: 2015-07-20