Читайте также: |
|
В следующей теореме решается следующая задача: как следует выбрать узлы интерполяции, чтобы минимизировать погрешность на всем отрезке.
Теорема 1.3. Пусть , тогда наименьшая максимальная абсолютная погрешность интерполяции полиномом Лагранжа
на отрезке
достигается при выборе в качестве узлов интерполяции нулей функции
Обозначим
- корень многочлена
. Согласно свойству 4
![]() | (28) |
Пусть – некоторая система узлов на
. Запишем формулу максимальной абсолютной погрешности интерполяции по Лагранжу (формула (10) тз п.п.1.4):
,
где ,
Как следует из свойства 6:
.
Выберем в качестве узлов точки , определяемые формулой (28). Тогда
.
Отметим, что многочлен имеет одну и ту же степень n+ 1, что и
, один и тот же коэффициент при старшей степени
и одни и те же нули на
.
Отсюда немедленно следует, что , и соответствующая оценка погрешности:
.
Данная оценка является наилучшей среди всех возможных способов выбора узлов интерполяции.
Замечание. Для оптимальной интерполяции на произвольном конечном отрезке [ a;b ] предварительно необходимо сделать линейное преобразование:
и преобразовать формулу для нулей функции к следующему виду:
,
Пример 15. Вывести следующую формулу для максимальной абсолютной погрешности интерполяции по Лагранжу на отрезке
:
1.8 Среднеквадратичное приближение функций.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 108 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Простейшие свойства многочленов Чебышева. | | | Общая постановка задачи и ее разрешимость. |