|
Читайте также: |
В следующей теореме решается следующая задача: как следует выбрать узлы интерполяции, чтобы минимизировать погрешность на всем отрезке.
Теорема 1.3. Пусть 
, тогда наименьшая максимальная абсолютная погрешность интерполяции полиномом Лагранжа 
на отрезке 
достигается при выборе в качестве узлов интерполяции нулей функции 
Обозначим 
- корень многочлена 
. Согласно свойству 4
| (28) |
Пусть 
– некоторая система узлов на . Запишем формулу максимальной абсолютной погрешности интерполяции по Лагранжу (формула (10) тз п.п.1.4):
,
где 
, 
Как следует из свойства 6:
.
Выберем в качестве узлов точки 
, определяемые формулой (28). Тогда
.
Отметим, что многочлен 
имеет одну и ту же степень n+ 1, что и 
, один и тот же коэффициент при старшей степени 
и одни и те же нули на .
Отсюда немедленно следует, что 
, и соответствующая оценка погрешности:
.
Данная оценка является наилучшей среди всех возможных способов выбора узлов интерполяции. 
Замечание. Для оптимальной интерполяции на произвольном конечном отрезке [ a;b ] предварительно необходимо сделать линейное преобразование:
и преобразовать формулу для нулей функции 
к следующему виду:
,
Пример 15. Вывести следующую формулу для максимальной абсолютной погрешности интерполяции по Лагранжу на отрезке 
:
1.8 Среднеквадратичное приближение функций.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 108 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Простейшие свойства многочленов Чебышева. | | | Общая постановка задачи и ее разрешимость. |