Читайте также:
|
1. Многочлены Чебышева ортогональны на отрезке 
с весом 
.
Рассмотрим интеграл
в силу ортогональности системы функций 
на отрезке 
.
Вычислим квадрат нормы:
. 
2. При четных (нечетных) n многочлен Чебышева Tn (x) содержит только четные (нечетные) степени х, т.е. является четной (нечетной) функцией.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).
3. Коэффициент при старшей степени xn многочлена Tn (x) равен 2 n- 1.
Доказывается по индукции с помощью рекуррентной формулы (25).
4. Многочлен Tn (x) имеет на отрезке 
ровно n различных действительных корней, определяемых формулой:
Действительно:
5. 
и достигается в точках экстремума:
.
Из определения (1) следует, что 
для любого 
. Очевидно, что
.
6. Многочлен 
среди всех многочленов 
n -ой степени с коэффициентом при старшей степени an =1 обладает тем свойством, что
 .
| (26) |
Доказывается от противного: пусть это не так и существует многочлен
такой, что выполняется противоположное:
 .
| (27) |
Разность (
) – многочлен (n- 1)-ой степени, причем в силу (4)
.
Обозначим 
и заметим что, в силу (27)
 .
|
Продолжим рассмотрение разности:
Таким образом, при переходе от точки 
к 
разность () меняет знак. Всего при переходе от точки 
к 
произойдет ровно n смен знака. Отсюда следует, что разность 
имеет на отрезке 
ровно n действительных корней (нулей), что противоречит теореме Гаусса, т.к. это многочлен (n- 1)-ой степени.
Замечание. Благодаря свойству 6 многочлен Чебышева 
называется многочленом, наименее отклоняющимся от нуля.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 120 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основные определения. | | | Применение многочленов Чебышева в задаче интерполяции. |