Замечания. Не любое метрическое пространство является полным.

Не любое метрическое пространство является полным.

Например, множество всех рациональных чисел с метрикой

не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но - иррациональное число.

Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.

Определение 5. Множество X называется нормированным линейным пространством, если

оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.

Любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:

А1. ,

А2.

А3. – неравенство треугольника.

Замечание. Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, если ввести метрику по формуле

, (1)

Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.

Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.

Пример 5. Множество всех функций, заданных на отрезке [ a,b ] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .

Пример 6. При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [ a,b ] функций.

Если на ввести норму по формуле

,

(2)

то получим линейное нормированное пространство C [ a,b ] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f (x) +g (x), ).

Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются. В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.

Дата добавления: 2015-07-16