Погрешность интерполяционной формулы Ньютона.

Нам известна теоретическая оценка абсолютнойпогрешности интерполяции в точке по Лагранжу

(5)

.

Преобразуем многочлен для случая равноотстоящих узлов:

Поскольку согласно формуле (17), , то

.

Т.о. для оценки погрешности в точке получаем:

или

,

(19)

где

.

Из формулы (19) следует оценка для максимальной абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона на всем отрезке

.

(20)

Пример 12. Показать, что из формулы (20) следует более простая, но завышенная оценка

,

(21)

подчеркивающая степенную зависимость точности интерполяции от шага h.

Для вывода (21) показать сначала, что

.

Доказательство провести по индукции: и т.д.

Пример 13. Каков должен быть шаг h таблицы интерполяции для функции , чтобы при квадратичной интерполяции на отрезке абсолютная погрешность не превосходила ?

Ответ: . Использовать оценку (21).

Пример 14. Вывести вторую интерполяционную формулу Ньютона (формулу «интерполирования назад»).

Ищем интерполяционный многочлен в виде:

.

(22)

Накладывая условия

;

аналогично выводу формулы (18), получим общее выражение для :

Вводя безразмерную переменную

и преобразуя (22), получаем выражение для второй формулы Ньютона:

.

(23)

Для погрешности интерполяции получаем соответственно:

В формуле (23) используются конечные разности которые образуются в последних строках таблицы.

Замечание. Множество различных видов интерполяционных полиномов не исчерпывается приведенными тремя видами. Результат зависит от двух факторов: от вида сетки (равномерная или неравномерная) и от выбора базового узла . Например для равномерной сетки и при выборе базового узла в центральной части отрезка используются так называемые центральные разности. В результате получаются еще 3 вида записи интерполяционных полиномов: формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя [1].

1.7 Многочлены Чебышева, их свойства и применение в задаче интерполяции.

Дата добавления: 2015-07-16