Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.1. Численное дифференцирование на основе интерполяции

4.2. Численное дифференцирование на равномерной сетке

4.3. Задача Коши для ОДУ

4.3.1. Постановка задачи

4.3.2. Метод Эйлера и его модификации

4.4. Численные методы решения краевых задач для ОДУ

4.4.1. Постановка задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка

4.4.2. Метод конечных разностей (метод сеток)

4.4.3. Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем

Литература

УДК 519.6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие подготовлено на основе курса лекций, читаемых автором в течение ряда лет на третьем курсе факультета МП и ТК. Излагаются основные понятия, относящиеся к численным методам решения задач линейной алгебры, математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений.

По всем разделам приводятся примеры, иллюстрирующие те или иные теоретические положения или конкретные алгоритмы решения.

Пособие служит теоретической базой курса “ Численные методы” и должно быть дополнено лабораторными работами, проводимыми в компьютерном классе, и практическими занятиями. Лабораторные работы рекомендуется реализовывать в пакете MATLAB для WINDOWS версий не ниже 7.

Пособие может быть полезно как для студентов, так и аспирантов, специализирующихся по широкому профилю технических специальностей вуза.

Глава 1. Численные методы в теории приближений.

1.1. Структура погрешности в численном анализе.

Рассмотрим основные источники погрешностей, возникающих в численном анализе.

1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

2. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными в результате неточных измерений или ввода в компьютер таких констант как π, е и др.

3. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

4. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми. Погрешность метода обычно оценивается в норме того метрического пространства, в котором действуют операторы преобразованной задачи. Чаще всего алгоритм решения устроен как итерационный процесс. Поэтому возникает проблема сходимости этого процесса к некоторому решению – приближенному решению исходной задачи и вопрос о близости полученного решения к точному решению исходной задачи.

Рассмотрим подробнее пункт 4 – ошибки округления.

Ошибки округления связаны с устройством арифметического процессора на ЭВМ, имеющего конечную разрядность. Чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим две основные формы записи чисел.

1) Запись числа в позиционной системе счисления:

,

где a – основание позиционной системы, a {2,8,16,10,…},

.

Пример 1. Пусть a =10. Расшифровать десятичное число X = 27,135

.

Определение 1. Значащими называются все цифры числа X, записанного в позиционной системе, начиная с первой слева отличной от нуля.

Пример 2. В записи числа X = 0,006071 значащими являются цифры 6,0,7,1.

2) Нормализованная форма записи числа (запись числа в арифметическом процессоре «с плавающей запятой»):

,

где f – мантисса числа X, удовлетворяющая условию , а - основание системы счисления (а =2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, ,

,

- цифра в k -ом разряде мантиссы (дробного числа), , k =2,3,…, 0< f₁<a, t – число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Пример 3. Пусть X = 0,03045 в десятичной системе. Записать число X в нормализованной форме.

.

Если вводимое в ЭВМ число X (или полученное на каком либо этапе вычислительного процесса) имеет число значащих цифр мантиссы, превышающее значение t, то происходит так называемое округление числа. В компьютерах обычно реализовано симметричное округление по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньшая пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. Кратко это правило формулируют так: округление до ближайшего целого.

Существуют и другие правила округления, осуществляемые по решению пользователя ЭВМ. Например, в пакете MATLAB реализовано четыре специальные команды округления чисел: fix, ceil, floor, round. Подробно эти и другие способы округления чисел обсуждаются на семинарских занятиях и лабораторных работах.

Ошибка округления, будучи внесена на каком либо этапе вычислительного процесса, начинает распространяться во всех последующих операциях. Таким образом, в конечный результат будет внесена результирующая ошибка округления.

Введем основные понятия, связанные с погрешностью чисел.

Пусть - приближенное представление числа X, т.е. , где - погрешность.

Определение 2. Величина

Дата добавления: 2015-07-16