Распространение ошибок округления в арифметических операциях.

1) Операции сложения и вычитания.

Пусть , . Тогда , где .

Поскольку , то ,

т.е. при сложении чисел предельные абсолютные ошибки складываются.

Не трудно убедиться, что такое же правило справедливо и для разности.

Вывевсти формулу для максимальной относительной погрешности разности ◄ самостоятельно ►.

2) Операция умножения.

Пусть ,

где , тогда

,

Следовательно,

,

т.е. .

Если последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, то им можно пренебречь. В этом случае получаем более простое правило: при умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.

3) Операция деления.

Пусть , , .

Пример 4. Показать, что справедливо следующее правило:

.

Самостоятельно .

4) Погрешность вычисления функции при неточном задании аргументов.

Рассмотрим для определенности функцию двух переменных , непрерывно-дифференцируемую в области G R². Пусть приближенное значение точки , причем замкнутый прямоугольник

содержит обе указанные точки.

Пусть , , , .

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем:

,

где - некоторая точка замкнутого прямоугольника .

Отсюда, оценивая обе части равенства по модулю, получим

.

Если известны оценки: , , где (, то максимальная абсолютная ошибка вычисления функции:

.

1.3 Понятие близости в метрическом пространстве.

Определение 1. Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:

А1. тогда и только тогда, когда x=y.

А2. .

А3. – неравенство треугольника.

Определение 2. Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .

Определение 3. Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если .

Определение 4. Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.

Дата добавления: 2015-07-16