Интерполяционный полином Ньютона. Пусть - сетка равноотстоящих узлов

Пусть - сетка равноотстоящих узлов. Известны табличные значения некоторой функции .

Запишем многочлен Лагранжа в следующем виде:

.

(16)

Введем безразмерную переменную

, для

где h – шаг. Очевидно, что для . Кроме того, для данной сетки

;

.

(17)

Потребуем выполнения условий совпадения значений полинома с табличными значениями в узловых точках

Далее по индукции получаем общую формулу для коэффициента

Заметим, что из определения q следует, что

Подставляя (17) и формулу для в (16), получаем:

(18)

Формула (18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона или формулой «интерполирования вперед».

Замечание. Мы получили два различных представления для одного и того же интерполяционного полинома (интерполяционный полином Лагранжа и интерполяционный полином Ньютона). Отметим некоторые очевидные особенности практического применения этих двух видов.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа содержит значения в явном виде. Это удобно, когда надо построить интерполяционный полином по той же сетке, но для другой функции . В этом случае достаточно значения поменять на .

Интерполяционный полином в форме Ньютона (18) содержит значения неявно (через конечные разности). Однако он удобен, когда для той же функции необходимо увеличить число узлов n для повышения точности. В этом случае к исходной записи многочлена достаточно добавить несколько таких же членов, если в запасе остались неиспользованными узлы сетки.

Кроме того, на практике обычно формулу (18) используют для интерполяции в точках x, близких к точке x ₀. В этом случае q мало и требуется небольшое число членов ряда для достижения нужной точности.

В то же время многочлен в форме Лагранжа дает, как правило, наибольшую максимальную абсолютную погрешность в точках, близких к краям отрезка .

Приведем простейшие частые случаи интерполяции по Ньютону:

1) Линейная интерполяция, :

.

2) Квадратичная интерполяция, :

.

Пример 11. Задана таблица интерполяции в равноотстоящих узлах.

Используя интерполяцию по Ньютону, вычислить приближенно значение .

Составляем конечные разности и дополняем таблицу столбцами конечных разностей и . Обнаруживаем, что вторые конечные разности постоянны. Следовательно, и достаточно ограничиться многочленом 2-го порядка:

.

Используя первую строку таблицы и значение , получаем

.

Дата добавления: 2015-07-16