Конечные разности и их свойства.

Пусть задана равномерная сетка узлов . Обозначим – множество узловых точек; - шаг сетки.

Определение. Величина

называется конечной разностью первого порядка (или разностью «на шаг вперед»).

……………………..

(13)

- конечная разность m -го порядка.

Свойства конечных разностей.

1. Операторы - линейные операторы.

Пусть - произвольные табличные значения.

Доказательство проведем по индукции. Вначале проверяем утверждение для m =1.

оператор линейный.

Далее пусть - линейный оператор. Покажем, что и линейный.

2. Операторы и - перестановочные, т.е.

.

Последовательно используя определение (13), получаем следующую цепочку равенств:

То же самое получим, действуя в обратном порядке.

Следствия из свойств 1 и 2.

С.1.

С.2. линейно выражается через узловые значения .

По индукции. Для m =1 утверждение следует из определения оператора . Пусть утверждение справедливо для оператора , т.е. , где m >2, тогда

Пример 9. Выразить явно через .

Самостоятельно.

3. Рассмотрим сетку , в которую введен дополнительный узел . Пусть функция Тогда справедливы следующие формулы:

.	(14)
.	(15)

Пусть m= 1. Тогда

где h – приращение аргумента.

m= 2.

(14) при .

Уравнение (15) является частным случаем уравнения (14) при .

4. Для сетки X_n рассмотрим полином m -го порядка

.

Таким образом для полинома -го порядка конечные разности -го порядка постоянны, а конечные разности порядков, больших, чем , равны нулю.

Пример 10. Пусть .

Рассмотрим сетку узлов Составить таблицу конечных разностей.

Заметим, что вторые разности постоянны в соответствии со свойством 4. Кроме того, верхняя строка таблицы относится к конечным разностям в точке x ₀.

Замечание. Справедливо и обратное к свойству 4 утверждение: если для некоторой функции m -ные конечные разности постоянны при любом выборе шага, то это означает, что .

Дата добавления: 2015-07-16