I. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.

Пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А \ В (когда В c А, можно обозначить В´) тоже конечно, причем выполняется равенство n(А \ В) = n (A) - n (B)

Доказательство:

Так по условию В – собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так:

А

Разность А \ В на этом рисунке заштрихована. Хорошо видно, что В и А \ В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n (A) = n (B) + n(A \ B), откуда по определению вычитания как операции обратной сложению, получаем

n(A \ B) = n (A) - n (B).

Из этого следует определение разности натуральных чисел:

С теоретико-множественной позиции разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), b = n (B) и В c А:

а – b = n (A) + n (B) = n(A \ B), если A c B, В ≠ А, В = Ø.

Взаимосвязь вычитания и разности множеств позволяет обосновывать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему задача решается действием вычитания:

У Антона 11 машинок. 3 машинки он подарил другу. Сколько машинок стало у Антона?

В задаче рассматриваются три множества: множество А – машинок у Антона; множество В – машинок подаренных Антоном другу, которое является подмножеством множества А; и множество С - дополнение множества В до множества А – машинки, оставшиеся у Антона после того, как он подарил несколько другу. В задаче нужно найти число элементов в дополнении. Т.к. по условию n (A) = 11, n (B) = 3 и В c А, то n(C) = n(A \ B) = n (A) - n (B) = 11 – 3 = 3. Разность 11 – 3 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 11 – 3 = 8. Следовательно, у Антона осталось 8 машинок.

II. Теоретико-множественный смысл равенств а - 0 = а и а – а = 0.

По аналогии трактуется вычитание нуля и вычитание а из а.

Т.к. А \ Ø = А, А \ А = Ø, то а - 0 = а и а – а = 0.

Дата добавления: 2015-07-19