Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

При построении базовых квадратурных формул использовалось число узлов от одного до трех, распределенных равномерно на отрезке .

Для повышения точности квадратурных формул введем на более густую равномерную сетку с мелким шагом h:

и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

.

Используя полученное разбиение отрезка, запишем интеграл

.

Дальнейший результат будет зависеть от порядка базовой квадратурной формулы, используемой на i -ом интервале. Например, для приближения порядка (формула трапеций) получим:

.

(13)

Формулу (13) можно назвать «обобщенной формулой трапеций».

Определение. Квадратурная формула n -го порядка, построенная на равномерной сетке с (N +1) узлом, носит название «формула Ньютона-Котеса порядка n с (N +1) узлом».

Т.о. формула (13) есть формула Ньютона-Котеса порядка n= 1 c (N +1) узлом. Выведем формулу для погрешности данной квадратурной формулы.

Теорема 2.1. Пусть и - равномерная сетка узлов с шагом , и , где определяется формулой (11). Тогда для погрешности обобщенной формулы трапеций справедлива формула:

(14)

Обозначим погрешность базовой формулы трапеций на j- м интервале

, где , .

Просуммируем все j -ые погрешности по N интервалам:

.

Т.к. по условию , то непрерывна на . Отсюда следует, что функция так же непрерывна на , причем из условия следует, что .

Далее по теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции получаем, что найдется такая точка , что .

Отсюда для погрешности формулы Ньютона-Котеса порядка 1 получаем:

.

(2)

В таком виде формула (14) демонстрирует степень зависимости погрешности от числа интервалов N.

Пусть . Построим формулу Ньютона-Котеса второго порядка, обобщающую квадратурную формулу Симпсона. Для этого необходимо на распределить нечетное число узлов:

. Диаграмма узлов изображена

на рисунке:

На каждой последовательной тройке узлов используем базовую формулу Симпсона.

Обозначим

Имеем:

.

(15)

Оценим погрешность обобщенной формулы Симпсона (15).

Теорема 2.2. Пусть и -равномерная сетка узлов с шагом на . Тогда для погрешности обобщенной формулы Симпсона справедлива формула:

. (16)

Теорема доказывается аналогично теореме 2.1, путем суммирования погрешностей на базовых отрезках

и использования теоремы Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке.

Дата добавления: 2015-07-16