Читайте также: |
|
Пусть - система ортогональных с весом
на отрезке
полиномов. Справедливы следующие общие свойства таких полиномов.
1. Многочлен ортогонален любому алгебраическому многочлену m -ой степени
при
.
Действительно, многочлен
можно единственным образом представить в виде линейной комбинации
![]() | (17) |
Равенство (17) тождественное, поэтому коэффициенты единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях x.
Умножая обе части (17) скалярно на , имеем:
в силу ортогональности
.
2. Полином имеет на отрезке
ровно n действительных и различных корней.
Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен
не может иметь более, чем n корней (вообще говоря, комплексных).
Пусть имеет меньше, чем n простых действительных корней. Обозначим их
. По этим точкам построим фундаментальный многочлен
Рассмотрим многочлен - многочлен степени
, который имеет нули
четной кратности. Следовательно, он сохраняет знак на
. Отсюда следует, что
, т.е.
, что противоречит свойству 1.
3. Для всех ортогональных многочленов, построенных на канонических промежутках с соответствующими весовыми функциями, существуют формулы Родрига и рекуррентные формулы. В частности, соответствующие формулы для полиномов Лагранжа приведены в лекции 5.
4. Система ортогональных с весом
полиномов на
- полна. Это значит, что не существует функции, отличной от нулевой и ортогональной всем функциям системы, т.е. из равенств
следует, что
на
.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. | | | Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля. |