Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра.

Пусть – система ортогональных многочленов на с весом – заданная функция.

Представим функцию в виде

где –ошибка аппроксимации в точке ,

– отрезок ряда Фурье по системе ,

Согласно постановке задачи среднеквадратичного приближения необходимо найти коэффициенты , минимизирующие среднеквадратичную ошибку, т.е.

В силу ортогональности полиномов Лежандра, решение системы (30) дается формулой (33).

.

При этих значениях коэффициентов многочлен

–

– наилучший в среднеквадратичном многочлен -го порядка, т.е.

=

Вычислим квадрат нормы среднеквадратичной ошибки:

.

(11) (38)

Распишем скалярное произведение в (38):

.

(12) (39)

Распишем последнее слагаемое в (38):

.

(13) (40)

Подставляя (39) и (40) в формулу (38) для ошибки, получим:

(14) (41)

Из неравенства (41) следует так называемое неравенство Бесселя для среднеквадратичного приближения:

.

Т.к. система многочленов полна, то в пределе получаем

,

причем стремление к нулю монотонное: .

Пример 17. Пусть , найти наилучший в среднеквадратичном многочлен 2-ой степени, приближающий на отрезке . Вычислить среднеквадратичную ошибку аппроксимации.

В данном случае весовая функция , поэтому используем ортогональную систему полиномов Лежандра. Для три первых полинома найдены в примере 1:

По формуле (33), учитывая, что

В результате получаем: , и среднеквадратичная погрешность данного приближения

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

2.1. Использование функциональных рядов.

Пусть . Тогда существует определенный интеграл

,

согласно формуле Лейбница.

Однако, во многих случаях первообразная не выражается в аналитическом виде, поэтому приходится применять те или иные численные методы.

Примеры «неберущихся» интегралов:

– интегральный синус;

– интеграл вероятности;

- интеграл Френеля, и другие.

Одним из способов численного интегрирования является разложение подынтегральной функции в те или иные ряды (например, в ряд Тейлора) и почленное интегрирование полученного ряда. Например, для «интегрального синуса» получаем с помощью тейлоровского разложения:

.

Взяв конечное число членов разложения, получим приближенное значение интегрального синуса . При этом абсолютная ошибка приближения оценивается по остаточному члену тейлоровского разложения.

Подобные примеры рассматриваются на семинарском занятии.

Другой подход основан на интерполяции подынтегральной функции по Лагранжу или Ньютону. В результате получаются так называемые квадратурные формулы. В следующем параграфе этот подход рассматривается более подробно.

Дата добавления: 2015-07-16