Квадратурные формулы на основе интерполяции.

Пусть задана сетка узлов , не обязательно равномерная. Требуется приближенно вычислить интеграл . Представим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа по данной системе узлов: , тогда

,

где

- приближенное значение интеграла,

- ошибка приближения.

Используя представление полинома Лагранжа через фундаментальные полиномы

,

получим:

,

(1)

где

.

Формула (1) называется квадратурной формулой n-го порядка. Если , то используя формулу погрешности интерполяции в точке, получим следующее выражение для погрешности квадратурной формулы:

(2)

Оценивая обе части (2) по модулю, получим оценку абсолютной погрешности

,

(3)

где

,

Стандартные квадратурные формулы получаются для равномерной сетки .

Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона:

,

(4)

где

.

В этом случае квадратурная формула n -го порядка получается при подстановке представления (4) в интеграл

и представления конечных разностей в виде линейной комбинации узловых значений функции (согласно свойству конечных разностей).

Для ошибки квадратурной формулы n -го порядка соответственно получаем выражение:

.

(5)

После замены переменной , окончательно получаем:

.

(5)

Условие связано с тем, что при понятие «шага» сетки не определено.

Перейдем к непосредственному выводу квадратурных формул для порядков .

. Пусть .

Как говорилось выше, шаг h в этом случае не определен, т.к. имеется всего один узел . Этот узел может быть выбран многими способами.

Положим, например,

(тем самым оптимизируется погрешность «в среднем» для большого семейства функций). Учитывая, что полином Ньютона нулевого порядка имеет вид

,

Получаем квадратурную формулу «нулевого порядка»

.

(6)

Формула (6) имеет простой геометрический смысл и называется «формулой прямоугольника».

Для оценки погрешности данной квадратурной формулы (как говорилось выше, при формула (6) не применима) введем «псевдошаг», положив

, и рассмотрим интеграл

. (7)

После замены переменных получим:

. (8)

Пусть . Разложим подинтегральную функцию в (8) в ряд Тэйлора до членов второго порядка: , где , и подставим в (8):

= .

Из последней формулы усматриваем, что

- приближенное значение интеграла (квадратурная формула прямоугольника);

- теоретическая погрешность формулы прямоугольника.

Из последней формулы получаем оценку абсолютной погрешности формулы прямоугольника:

.

. Используем два узла: .

и линейное приближение интерполяции:

,

. Отсюда получаем приближенное значение интеграла

-

(9)

Квадратурная фомула (9) называется формулой трапеции.

Дадим геометрическую иллюстрацию формулы (9). На рисунке заштрихована площадь трапеции, определяемая формулой (9).

Погрешность формулы трапеций находим по формуле (5) (попрежнему считаем, что ):

.

(10) (10)

Из формулы (10) следует оценка абсолютной погрешности: .

. (Параболическая интерполяция). Определяем узлы: , .

Интерполяционный полином Ньютона второго порядка имеет вид

, .

Вычисляемм приближенное значение интеграла:

.

Таким образом, квадратурная формула второго порядка имеет вид

-

(11) (11)

Формула (11) носит название - формула Симпсона.

Погрешность квадратурной формулы Симпсона приведем без вывода:

.

(12) (12)

Из (12) получаем оценку абсолютной погрешности

.

Формулы (5), (10) и (12) для погрешности квадратурных формул носят теоретический характер. В частности, они позволяют выяснить, какова алгебраическая степень точности данной квадратурной формулы.

Определение. Говорят, что данная квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности s, если она точна для многочленов степени равной или меньшей s.

Из определения следует, что квадратурные формулы прямоугольников и трапеций точны для многочленов степени s= 1 (т.к. для такого многочлена и за счет производной). – (См. формулы (5) и (10)).

Подобным образом убеждаемся, что формула Симпсона (11) имеет алгебраическую степень точности s= 3 (следует из вида в формуле (12)). Но как видно из тех же формул для и , точность определяется не только производной, но и шагом интерполяции h.

Пример 1. Пусть и такова, что первые 4 производные ограничены в совокупности, т.е . Во сколько раз формула Симпсона точнее формулы трапеций?

Для формулы трапеций имеем: ;

Соответствующие значения для формулы Симпсона: . Из этих соотношений получаем, что в данном случае формула Симпсона точнее формулы трапеций в 60 раз

Дата добавления: 2015-07-16