|
Читайте также: |
Рассмотрим систему алгебраических многочленов
 .
| (34) |
Такая система, рассматриваемая в гильбертовом пространстве 
, линейно независима при 
.
Однако непосредственная подстановка алгебраических многочленов в систему (30) не эффективна, т.к. приводит к плохо обусловленной системе уравнений. На базе системы (34) можно построить ортогональные полиномы на заданном отрезке (или бесконечном промежутке) с заданной весовой функцией 
.
Рассмотрим один из алгоритмов ортогонализации, известный как рекуррентная процедура Грама-Шмидта.
Новая система полиномов, ортогональная на 
с весом строится рекуррентно:
.
Накладывая условие ортогональности:
,
получаем формулу для коэффициентов 
:
| (35) |
Пример 16. Пусть отрезок 
. Построить первые три ортогональных полинома 
, используя процедуру Грама-Шмидта.
Полагаем 
. Далее по формулам (35) находим
откуда получаем 
Действуя аналогично далее, получаем: 
. 
Существует другой - более эффективный способ построения ортогональных многочленов. В частности, для системы ортогональных многочленов на отрезке 
с весом 
, справедливы следующие две формулы:
формула Родрига:
| (36) |
и
рекуррентная формула:
| (37) |
Из (36) последовательно получаем: 
; Далее по рекуррентной формуле (37) при 
находим: 
.
Получаемые таким образом полиномы называются полиномами Лежандра.
Замечание. Найденные по процедуре (36)-(37) ортогональные многочлены могут лишь множителями отличаться от тех, которые строятся по методу Грама-Шмидта.
Квадрат нормы полиномов Лежандра равен
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 218 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Общая постановка задачи и ее разрешимость. | | | Среднеквадратичная ошибка аппроксимации полиномами Лежандра. |