Двухслойные разностные схемы для уравнения теплопроводности: построение, исследование погрешности аппроксимации.

Рассмотрим уравнение теплопроводности,

которое дополняется начальными и краевыми условиями

В этих уравнениях u-температура, a^2-коэффициент теплопроводности, f(x,t)- описывает внутр-е источники тепла.

Для существования и единственности решения уравнения (1) не требуется согласования начальных и краевых условий, то есть допускаются разрывы функции u(x,0) на границах в начальный момент времени t=0. Построим равномерную сетку, где

Значения сеточных функций принято обозначать . Если выбрать четырехузловой шаблон (смотрите рисунок, там где стрелочками помеченно) то можно рассмотреть явную разностную схему

Погрешность данной аппроксимации равна , однако если при f=0 выбрать такое отношение шагов , что =1/6, то погрешности конечно-разностных производных по x и по t взаимно компенсируется и порядок аппроксимации возрастает до .

Задача 4.1. Используя метод сеток, составить решение уравнения теплопроводности при заданных начальных и краевых условиях ; ; , где для , при h=0,2, .

Решение:

-начальное условие

- краевые условия

(так как , но по условию )

(так как =0)

Для определения значения во внутренних точках, применим формулу

Все ручные расчеты будем оформлять в таблицу

	i
j			0.2	0.4	0.6
	0.01		1.2 0.95	1.4 1.25	1.02

Дата добавления: 2015-07-17