Интерполяция каноническим полиномом

Выберем в качестве аппроксимирующей функции полином P _n(x) степени n в кано­ни­ческом виде

(x) = P n(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x ^2 +... + c n x ^n

(5.2)

Коэффициенты c ₀, c ₁, c ₂,..., c _n определяются из условий Лагранжа, которые выглядят в данном случае следующим образом:

P n(x i)= f (x i), i = 0,1,2,...,n.

(5.3)

Рис.5.1. Алгоритм вычисления коэффициентов канонического полинома   Рис.5.2. Алгоритм схемы Горнера	Эти условия представляют собой систему n+1 линейных алгебраических уравнений:
c 0 + c 1 x 0 + c 2 x 0^2 +... + c n x 0^n = f 0 c 0 + c 1 x 1 + c 2 x 1^2 +... + c n x 1^n = f 1 c 0 + c 1 x 2 + c 2 x 2^2 +... + c n x 2^n = f 2 ...................................... c 0 + c 1 x n + c 2 x n^2 +... + c n x n^n = f n	(5.4)
В системе (5.4) неизвестными являются значения c 0, c 1, c 2,..., c n, а значения
	x 0	x 0^2	...	x 0^n		f 0
	x 1	x 1^2	...	x 1^n		f 1
	x 2	x 2^2	...	x 2^n	и	f 2
...	...	...	...	...		...
	x n	x n^2	...	x n^n		f n
образуют соответственно матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор-столбец сво­бодных членов. Эта система всегда имеет решение, если для любых двух не равных i и j выполняется: x i ¹ x j; i, j = 0,1,2,..., n. Блок-схема вычисления коэффициентов полинома представлена на рис.5.1. Вычисление значений полинома в точках интерполяции при уже известных значени­ях коэффициентов c 0, c 1, c 2,..., c n производится по алгоритму, имеющему название схема Горнера (рис.5.2). Для использования этого алгоритма полином P n(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x ^2 +... + c n x ^n преобразуется к виду: P n(x) = c 0 + x (c 1 + x (c 2 + x (с 3 +... + xc n)...))) Использование такого преобразования сокращает количество арифметических операций и уменьшает тем самым погрешность вычислений, обусловленную округлением вещественных чисел.

Дата добавления: 2015-07-19