Полиномиальная интерполяция

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Постановка задачи, основные понятия

Одной из важнейших задач, возникающих в процессе математического моделиро­вания, является вычислений значений функций, входящих в математическое описание модели. Используемые в математических моделях функции зачастую задаются табличным способом, например, если они получены в результате эксперимента. Т.е. предполагается, что функция f (x) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вы­чис­ления в последовательности значений аргумента:

x	f (x)
x 0	f 0
x 1	f 1
x 2	f 2
...	...
x n	f n

Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. В общем случае узлы не являются равноотстоящими. При проведении вычислительных работ обычно воз­ни­­кает необходимость "сгущать" эти таблицы, т.е. вычислять функцию для значений ар­гу­мента, не совпадающих с теми, которые попали в таблицу. Эта проблема решается путем замены функции f (x), для которой может быть даже неизвестно анали­ти­­чес­кое выраже­ние, некоторой функцией (x), имеющей сравнительно несложный аналитический вид и которая в некотором смысле близка к f (x). Приближение функции f (x) более прос­той функцией (x) называется аппроксимацией. Близости этих функций добиваются вве­дением в аппрокси­ми­ру­ю­щую функцию (x) свободных параметров c ₀, c ₁, c ₂,..., c _n и соответствующим их выбором. Критерии «близости» аппроксимирующей функции (x) к неизвестной функции f (x) могут быть самые различные. Например, это может быть равенство значений (x) и f (x) в узлах таблицы, или минимум суммы квадратов разности между этими значениями. Для аппроксимации по первому критерию применяются полиноми­аль­ные и сплайновые методы; второй критерий используется методом наименьших квад­ратов.

Задачей интерполяции является построение аппроксимирующей функции (x) и нахождение по ней приближенных значений табличной функции f (x) при аргументах x, не совпадающих с узловыми, но содержащихся в интервале (x ₀, x _n). Эти значения аргу­мента в дальнейшем будем называть точками интерполяции. Если же аппрокси­миру­ющую функцию вычисляют для точек, расположенных вне интервала [ x ₀, x _n], то такая задача называется экстраполяцией.

Полиномиальная интерполяция

Введем аппроксимирующую функции (x, c ₀, c ₁, c ₂,..., c _n) так, чтобы она совпа­ла со значениями f (x) во всех узлах:

(x i, c 0, c 1, c 2,..., c n) = f (x i), i = 0,1,2,...,n.

(5.1)

Свободные параметры c ₀, c ₁, c ₂,..., c _n определяются из системы (5.1), называемой усло­виями Лагранжа, а подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией.

При небольшом количестве узловых точек в качестве (x) выбирают полином сте­пени n. Дело в том, что через n+1 точек, расположенных на координатной плоскости, мож­но провести одну и только одну кривую, описываемую полиномом n-й степени. Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычисления их значений, дифференцирования и интегрирования. Существует несколько различных способов построения интерполяционного полинома.

Дата добавления: 2015-07-19