Аппроксимация с помощью многочленов

Пусть для описания экспериментальных данных используется многочлен: х_i, y_i
(i= 1, m)

, (9)

где k – количество неизвестных коэффициентов.

Запишем критерий метода наименьших квадратов:

. (10)

Для определения коэффициентов а₀, а₁,..., а_k-1 запишем условие существования экстремума, т.е. вычислим частные производные относительно а _j:

Таким образом, для определения коэффициентов необходимо решить систему уравнений:

или

. (11)

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для определения параметров линейной регрессии.

Пусть аппроксимирующая зависимость задана уравнением линейной регрессии, т.е. у=ах+b

Необходимо определить коэффициенты а и b по имеющимся экспериментальным данным

xi	x1	x2
yi	y1	y2	…

Запишем критерий метода наименьших квадратов

или

Полученная система представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров а и b. Систему уравнений легко свести к канонической форме, т.е. виду:

Для реализации на ЭВМ метода наименьших квадратов необходимо:

1. Подставить аппроксимирующую зависимость в выражение критерия качества

2. Найти частные производные от критерия по искомым параметрам

3. Найти выражения для определения коэффициентов линейного уравнения

4. Рассчитать значения коэффициентов системы линейных уравнений на ЭВМ с помощью известных выражений

5. Решить на ЭВМ полученную систему уравнений и определить параметры аппроксимирующей зависимости.

Блок-схема метода Более подробная блок-схема на примере определения

параметров линейной регрессии.

Дата добавления: 2015-07-19