Метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов параметры уравнения y = f(x

В методе наименьших квадратов параметры уравнения y = f(x, a₁,..., a_k) определяются исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений по всем точкам между расчетными и экспериментальными значениями:

. (7)

Поскольку критерий R(a₁,..., a_k) является функцией неизвестных параметров, его использование позволяет свести систему (7) к нормальному виду, т.е. виду, когда число неизвестных равно числу уравнений.

Условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Поэтому для приведения системы (7) к виду, удобному для решения, необходимо найти частные производные функции R по каждой из переменных a₁,..., a_k:

. (8)

Коэффициенты зависимости (1) получают в результате решения системы уравнений (8). Если функциональная зависимость является нелинейной относительно искомых параметров, то нахождение коэффициентов представляет собой определенные трудности. Это объясняется тем, что, во-первых, не всегда имеется возможность аналитического вычисления частных производных (8), во-вторых, нормальная система уравнений вида (8) нелинейна относительно искомых коэффициентов и ее решение сопряжено с рядом вычислительных трудностей.

Наиболее распространенным случаем использования метода наименьших квадратов является ситуация, когда зависимость (1) является линейной относительно искомых параметров. Если же она нелинейна, то часто путем алгебраических преобразований и заменой переменных эту зависимость удается привести к линейному виду. Например, известно, что вид зависимости у =ах^b – зависимость нелинейна относительно а,b однако после логарифмирования уравнения получим

y^/= a^/ + bx^/; где y^/ = ln y; x^/ = ln x; a^/ = ln a

Т.е. получена линейная зависимость у^/ = f(x^/, a^/, b). В этом случае для определения коэффициентов а₁, а₂,..., а_k можно воспользоваться методами решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим порядок получения нормальной системы уравнений при аппроксимации экспериментальных данных многочленами.

Дата добавления: 2015-07-19