Аппроксимация. Интерполирование функций возможно в том случае, если число экспериментальных точек

Интерполирование функций возможно в том случае, если число экспериментальных точек равно числу определяемых коэффициентов. Если число экспериментальных точек превышает число определяемых коэффициентов задача интерполирования, вообще говоря, становится невозможной либо нужно повышать порядок интерполяционного многочлена, либо брать другой многочлен (при интерполировании другими методами, например сплайнами). В этом случае целесообразнее поставить задачу определения коэффициентов аппроксимирующей зависимостью, исходя из условия наилучшего в некотором смысле приближения расчетных и экспериментальных данных.

Пусть известна последовательность экспериментальных значений х_i, y_i (i= 1, m) и известна зависимость которой должна удовлетворять эта последовательность:

y = f(x, a₁,..., a_k) m>k, (1)

где a₁,..., a_k – параметры которые нужно определить, k – число определяемых параметров.

Например, у=ах²+вх+с

Значения у рассчитанные по зависимости (1) будем называть расчетными. Существует несколько подходов к аппроксимации табличных значений у_i.

I. Метод выбранных точек

Ставится задача определения параметров зависимости (1) по отдельным точкам табличной зависимости.

Рассмотрим решение этой задачи на примере квадратичной зависимости (полинома 2 порядка). Для определения параметров этой зависимости необходимо выбрать 3 точки:

. (2)

Решение полученной системы уравнений (2) дает нам параметры аппромаксионной зависимости. Выбор точек из таблицы, вообще говоря осуществляется произвольно.

II. Метод средних

Постановка задачи остается прежней: требуется найти параметры аппромаксионной зависимости. Эти параметры будем искать, исходя из следующего условия

, (3)

где y_i^P = f(x_i, a₁,..., a_k) для простоты положим

y_i^P=ax_i² + bx_i + c, (4)

где m – число точек в табличной зависимости.

Необходимо найти неизвестные параметры. Все измерения заданные в таблице, в этом случае, разбиваются на группы, обычно равные; количество групп равно количеству неизвестных параметров.

Тогда для каждой группы, исходя из условия (3), можно записать уравнения:

(5)

или

. (6)

Решение полученной системы уравнений (6) относительно неизвестных параметров а, b и с позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.

Если искомая функциональная зависимость нелинейна относительно неизвестных параметров, то нахождение коэффициентов представляет собой определенные трудности. Так как в этом случае система уравнений будет нелинейна относительно неизвестных параметров. Например, для случая, когда y = ax^b.

Метод средних точнее, чем метод выбранных точек, но он не учитывает знакоотклонения у^р _. от у.

Пример:

y

SDу_i=0

х₁ х₂ х₃ х₄

Дата добавления: 2015-07-19