Аналитическое решение задачи экранирования магнитного поля внутри полого шара

При внесении в магнитостатическое поле полого металлического шара с однородной магнитной проницаемостью m наблюдается эффект статического магнитного экранирования – ослабление внешнего поля во внутренней полости. Кроме ослабления поля во внутренней полости происходит изменение поля в стенках шара и в области, прилегающей к шару снаружи. Изменение поля во всех трех областях можно достаточно просто рассчитать в случае, когда невозмущенное внешнее магнитное поле однородно (например, созданное соленоидом). При этом задача сводится к решению уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала.

В методе разделения переменных решение уравнения Лапласа в сферической системе координат

ищется в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты

U(r, J, j) = R(r) Q(J) F(j).

При аксиальной симметрии зависимость от азимутальной координаты j исчезает и потому

U(r, J) = R(r) Q(J).

Подставляя это выражение в уравнение Лапласа и представляя R(r) в аналитическом виде, т. е. в виде ряда по степеням r, можно показать, что частные решения уравнения Лапласа должны иметь вид

,
где P_m(cos J) – полиномы Лежандра.

Тогда общее решение может быть представлено с помощью ряда

. (5.1)

Полное решение задачи предполагает определение функции U(r, J) в трех областях: вне шара, внутри ферромагнетика и во внутренней полости.

Если систему координат выбрать так, чтобы ось r совпадала с одной из осей симметрии шара и была параллельна направлению вектора H ₀, потенциал однородного магнитного поля (в отсутствие шара) будет иметь вид

U₀ (r, J) = - H ₀z = - H ₀r cos J.

Поскольку возмущающее действие шара на больших расстояниях исчезающе мало, потенциал результирующего поля в бесконечности должен иметь такое же значение. Это естественное для данной задачи граничное условие на бесконечности приводит к тому, что во внешней области для результирующего потенциала U_e в разложении (5.1) можно взять только одно слагаемое с m = 1. Учитывая, что P₁(cos J) = cos J, получим

U_e(r, J) = (C₁r + C₂r^–2) cos J. (5.2)

Для ферромагнитной области выражение для потенциала должно быть таким же, но с другими коэффициентами:

U_f(r, J) = (C₃r + C₄r^–2) cos J. (5.3)

Поскольку во внутренней области потенциал во всех точках ограничен, а при r = 0 второе слагаемое в разложении (5.1) становится бесконечно большим, третья зависимость U(r, J) не должна содержать слагаемого с r^–2, а потому имеет вид

U_i(r, J) = C₅r cos J. (5.4)

Для расчета коэффициентов, входящих в выражения (5.2)–(5.4), используются граничные условия на обеих поверхностях полого шара и на бесконечности.

Из условия непрерывности потенциала на поверхностях r = R₁иr = R₂ следуют равенства

C₁R₂ + C₂R₂^–2 = C₃R₂ + C₄R₂^–2; (5.5)

C₃R₁ + C₄R₁^–2 = C₅R₁. (5.6)

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к условию непрерывности нормальных составляющих вектора B на внутренней и внешней поверхностях полого шара, что эквивалентно двум равенствам

и ,
из которых получается еще одна пара уравнений:

C₁R₂ - 2C₂R₂^–2 = m_r (C₃R₂ - 2C₄R₂^–2); (5.7)

m_r (C₃R₁ - 2C₄R₁^–2) = C₅R₁. (5.8)

Поскольку при r ® ¥второе слагаемое в (5.2) стремится к нулю и при этомU_e(r, J) = U₀, получаем

C₁r cos J = -H₀r cos J,
откуда сразу же находим

C₁ = -H₀.

Совместное решение уравнений (5.5)–(5.8) для остальных коэффициентов дает следующие выражения:

;

; ;

.

Используя указанные коэффициенты в выражениях (5.2)–(5.4), получим распределение потенциала во всех трех расчетных областях. Это позволит количественно оценить эффект экранирования в зависимости от магнитной проницаемости ферромагнетика m_r. Кроме того, полученное решение дает возможность исследовать форму нагрузочных линий, т. е. зависимостей ½ B ½= f(½ H ½) от m_r для разных точек ферромагнетика. Для проведения такого исследования воспользуемся формулами для расчета составляющих вектора магнитной индукции B:

и .

Подставляя в приведенные формулы выражение для скалярного магнитного потенциала в железе U_f, получим

; (5.9)

.

Наибольший интерес для исследования указанных нагрузочных линий представляют области вблизи точек 1–4 (рис. 5.2), в которых выражения для B_r и B_J выглядят значительно проще, поскольку rравен R₁ либо R₂, а угол J равен 0 либо p/2.

Дата добавления: 2015-11-13