Расчет электростатических полей в декартовой системе координат методом разделения переменных

Моделирование систем формирования электростатических и магнитостатических полей аналитическим методом

Цель работы – изучение основных методов решения задач электростатики и различных способов визуализации полученных результатов, а также анализ точности решения.

Расчет электростатических полей в декартовой системе координат методом разделения переменных

В декартовой системе координат решение уравнения Лапласа можно получить методом разделения переменных Для этого будем искать решение в виде

.

Поскольку каждая из функций зависит только от одной координаты, уравнение Лапласа можно представить в виде

или, разделив на XYZ:

. (1.1)

Каждое из слагаемых, входящих в левую часть этого уравнения, является функцией одной переменной – x, y и z соответственно:

F₁(x) + F₂(x) + F₃(x) = 0.

В данном случае легко доказать, что каждое из слагаемых – постоянная величина. Для этого достаточно продифференцировать левую часть, например по x:

F₁^¢ (x) = 0 или F₁(x) = const.

В результате, уравнение (1.1) распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

,
гдеk_x, k_y, k_z – постоянные величины, связанные между собой соотношением

. (1.2)

Решение системы дифференциальных уравнений

имеет вид гармонических функций

Решение исходного уравнения Лапласа в виде

(1.3)
существенно зависит от выбора параметров k_x, k_y, k_z, два из которых, согласно соотношению (1.2), можно выбрать произвольно. Анализируя связь между k_x, k_y, k_z, необходимо заметить, что, по крайней мере, один из параметров должен быть мнимым числом.

Значения коэффициентов, входящих в решение (1.3), определяются для каждой конкретной задачи из граничных условий для функции U или ее производных. Однако с помощью одного частного решения типа (1.3) не всегда удается удовлетворить всем граничным условиям. В таком случае решение представляют в виде суммы частных решений.

В данной работе сначала определяется форма крышки для прямоугольного бесконечно протяженного вдоль оси z заземленного желоба (рис. 1.1), которая изолирована от самого желоба и имеет потенциал U₀ при условии, что решение уравнения Лапласа совпадает с частным решением при фиксированном значении k.

Для однозначного решения этой задачи необходимо определить одну и только одну точку с координатами (x₀, y₀), которая лежит на внутренней поверхности крышки и имеет заданный потенциал. Поскольку при данной формулировке задачи потенциал не зависит от координаты z, функция Z должна быть постоянной, что возможно только при условии k_z = 0.

Тогда частное решение (1.3) должно иметь вид

.

Согласно условию задачи, граничные условия могут быть записаны в виде: 1) U = 0 при x = 0; 2) U = 0 при x = a; 3) U = 0 при y = 0; 4) U = U₀ при x = x₀, y = y₀.

Для выполнения первого и третьего условий достаточно, чтобы A₁ =
= B₁ = 0, что приводит частное решение к виду

. (1.4)

Второе условие будет выполнено, если sin k_xa = 0, что эквивалентно равенству , где n – произвольное целое число. Учитывая соотношение (1.2) для коэффициентов k, получим, что и решение (1.4) преобразуется к виду

.

Из четвертого условия определяем коэффициент A:

и получаем окончательное решение в виде

. (1.5)

Для построения поверхности, все точки которой имеют одинаковый потенциал U₀, необходимо решить относительно xуравнение

,

подставляя в него различные значения координаты y. В результате можно получить набор эквипотенциалей, представленных на рис. 1.2.

Далее необходимо решить полевую задачу для прямоугольного бесконечно протяженного вдоль оси z заземленного желоба, закрытого плоской крышкой, которая изолирована от самого желоба и имеет потенциал U₀ (рис. 1.3).

По сравнению с предыдущей, в данной задаче изменяется только четвертое граничное условие: U = U₀ при y = b.

Однако это изменение в корне меняет решение задачи, поскольку ни при каком выборе свободного параметра n, от которого зависит частное решение (1.5), невозможно получить во всех точках поверхности y = b одно и то же значение потенциала U₀.

Решить возникшую проблему можно, если представить искомую функцию в виде суммы частных решений

, (1.6)
обеспечивающей выполнение граничного условия на поверхности y = b.

Поскольку разложение (1.6) аналогично разложению функции U(x, b) = U₀ в ряд Фурье, коэффициенты A_n могут быть определены путем почленного сравнения обоих рядов.

Разложение прямоугольной функции в ряд Фурье имеет вид

, (1.7)
и потому для выполнения граничного условия на крышке желоба необходимо выбирать только нечетные значения параметра n = 2p - 1.

Сравнивая ряды (1.6) и (1.7), получаем, что для амплитуд должны выполняться соотношения

или .

Подставляя последнее выражение в (1.6), получим окончательное решение задачи:

.

Дата добавления: 2015-11-13