Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Лагранжа

Очень хорошим тестом для проверки точности работы численных алгоритмов расчета траекторий движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях является задача о движении заряда в поле точечного магнитного заряда m, который можно представить, как один из полюсов очень тонкого прямолинейного магнита такой большой протяженности, что действием второго полюса можно пренебречь.

Учитывая симметрию поля, целесообразно выбрать сферическую систему координат, в которой вектор напряженности магнитного поля H будет иметь только одну радиальную составляющую H_r = m/r².

В этом случае векторный потенциал A также имеет только одну отличную от нуля составляющую

.

Для описания движения заряженной частицы воспользуемся уравнением Лагранжа для материальной точки

.

Поскольку функция Лагранжа L для заряженной частицы, движущейся в электрическом и магнитном полях, имеет вид

,
в сферической системе координат в нерелятивистском приближении для нашей задачи получаем

.

Но тогда из уравнений Лагранжа следует:

;

; (2.6)

. (2.7)

Если проинтегрировать уравнение (2.7), то получим

, (2.8)
где R₁ – константа, зависящая от начальных условий.

Если же в уравнении (2.7) вычислить производную по времени в левой части и затем разделить обе части уравнения на sinJ, получим

. (2.9)

Умножив (2.9) на и (2.6) на , а затем сложив полученные выражения, после небольших преобразований можно представить результат в виде

,
откуда

. (2.10)

При умножении (2.9) на и (2.6) на и аналогичных вычислений, получим

. (2.11)

Из равенств (2.7), (2.9) и (2.10) следует, что константыR₁, R₂ и R₃ представляют собой проекции постоянного вектора

.

Решение задачи можно упростить, если совместить ось J = 0 с направлением постоянного вектора R. При этом движение будет происходить по конической поверхности J = a = const. В этом случае

.

Подставляя указанные выражения в (2.7), получим

. (2.12)

Используем закон сохранения энергии для построения траектории на конической поверхности. В сферической системе координат в поле магнитного заряда этот закон выглядит следующим образом:

.

Исключая при помощи (2.12) дифференцирование по времени и учитывая постоянство координаты J на поверхности конуса, получим дифференциальное уравнение

,
определяющее зависимость rот y. В результате разделения переменных получается уравнение

,
из которого в результате интегрирования получается искомая зависимость

,
где – наименьшее расстояние, на которое частица может приблизиться к магнитному заряду.

Дата добавления: 2015-11-13