Расчет траекторий заряженных частиц с использованием уравнений движения в форме Ньютона

Для построения траектории заряженной частицы с зарядом e и массой m ₀, движущейся в однородных постоянных электрическом E и магнитном B полях, всегда можно выбрать декартову систему координат так, чтобы ось z совпадала с направлением магнитного поля B, а плоскость 0xz была параллельна силовым линиям электрического поля E [5]. Поскольку траектория движения инвариантна по отношению к выбору системы отсчета, то для удобства вычислений совместим начало координат с начальной точкой движения частицы так, что x₀ = y₀ = z₀ = 0. При данном выборе системы координат B_x = B_y = 0, B_z = B и E_y = 0, поэтому уравнение движения заряженной частицы в форме Ньютона

в проекциях на оси координат в нерелятивистском приближении преобразуется в систему уравнений

(2.1)

Интегрирование второго уравнения системы дает зависимость y-й составляющей скорости от x:

. (2.2)

Если подставить выражение (2.2) в первое уравнение системы (2.1), то получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Решением этого уравнения будет

(2.3)
где .

Подставляя (2.3) в (2.2) и интегрируя, получим закон изменения y ‑координаты частицы от времени:

(2.4)

Далее, дважды интегрируя третье уравнение системы (2.1), найдем зависимость z = z(t):

. (2.5)

Анализ полученных зависимостей приводит к следующим результатам:

,
что является уравнением плоской окружности с радиусом, равным A, и координатами центра в плоскости 0xy

который движется с постоянной скоростью –E_x/B вдоль оси 0y. Это означает, что проекция траектории на плоскость 0xyпредставляет собой трохоиду, описываемую в параметрическом виде уравнениями (2.3) и (2.4).

Для определения пространственной формы траектории следует учитывать уравнение (2.5), согласно которому вдоль координаты z частица движется равноускоренно. Поэтому в общем случае ее траекторию можно представить в виде спиральной линии с радиусом, равным A, и осью, совпадающей с параболой в плоскости 0yz.

Угловая скорость, с которой частица движется по окружности, определяется формулой .

При этом частица делает полный оборот за время , не зависящее от напряженности электрического поля и от начальных условий.

Дата добавления: 2015-11-13