Методы аппроксимации базисными функциями

Одним из основных численных методов решения полевых задач является метод конечных элементов (МКЭ) [4], основу которого составляет аппроксимация функций с помощью кусочно-определенных базисных функций:

.

При этом функция y принимает одинаковые с j значения на границе некоторой области W, ограниченной замкнутой кривой G, а базисные функции {N_m; m = 1, 2, 3,...} выбираются так, что N_m|_Ã= 0 при любых m.

Метод аппроксимации определяет правило, по которому рассчитываются коэффициенты a_m:

– в методе интерполяции эти коэффициенты выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция совпадала с аппроксимируемой функцией j в Mразличных произвольно выбранных точках области определения функции j. При этом получается система, состоя­щая из M линейных уравнений относительно набора параметров {a_m; m = 1, 2, …, M}.

– в методе взвешенных невязок коэффициенты a_mявляются решением системы уравнений вида Ka = f, в которой элементы вектора f и матрицы K зависят от выбора системы базисных функций. Наиболее распространенная схема данного метода основана на использовании в качестве весовых множителей самих базисных функций, а в качестве базисных функций – синусоид вида N_m= sin (mpxL_x) (метод Галеркина). В этом случае элементы матрицы K и вектора f имеют вид

.

В зависимости от выбора системы базисных функций получаются различные модификации метода конечных элементов, в том числе и метод конечных разностей.

3.2. Расчет электростатических полей в декартовой
системе методом конечных разностей

Уравнение Пуассона

(3.1)
и его однородную форму – уравнение Лапласа, являющиеся дифференциальными уравнениями в частных производных с заданными граничными условиями вида, во многих практических случаях выгоднее решать численными методами. При этом решение получается не в виде аналитических функций, которые могут использоваться для расчета в произвольной точке области, а в виде значений искомой функции в отдельных, выбранных заранее точках области.

Процедура задания набора фиксированных точек, а также правил расчета функции в этих точках называется äèñêðåòèçàöèåé.

Наиболее простым с точки зрения программирования и математического обоснования является метод конечных разностей. В основу этого метода положено разложение функции в ряд Тейлора, при помощи которого производится замена непрерывной частной производной второго порядка ее конечно-разностным аналогом с погрешностью порядка O(h³).

В окрестности точки (x, y) функцию U(x, y) можно разложить в ряд Тейлора по координате x двумя способами:

Складывая эти два ряда и отбрасывая члены третьего порядка малости по h, получим

. (3.2)

Аналогично можно разложить функцию U(x, y) по координате y:

откуда с точностью до O(h³) получим

. (3.3)

Выбирая сетку таким образом, чтобы соседние узлы отстояли друг от друга по координатам x и y на расстоянии h_xиh_yи подставляя (3.2) и (3.3) в (3.1), после небольших преобразований получим конечно-разностный аналог уравнения Пуассона:

, (3.4)
с помощью которого значение функции в узле с номером (j, k) может быть рассчитано по значениям функции в 4 соседних узлах c номерами (j+1, k), (j–1, k), (j, k+1) и (j, k–1).

В MathCAD имеются две функции для решения дифференциальных уравнений в частных производных в области с квадратной границей.

Если функция U(x, y) имеет нулевые граничные условия на всех сторонах квадрата, то для нахождения этой функци лучше использовать

U:= multigrid (M, 2),
где M – квадратная матрица размером 1+2ⁿ, содержащая значения правой части уравнения (3.4) в соответствующих точках квадрата.

Процедура-функция relax позволяет найти решение уравнения Пуассона при ненулевых граничных условиях на сторонах квадрата

U:= relax (a, b, c, d, e, f, g, rJac),
где a, b, c, d, e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие соответствующие коэффициенты уравнения (3.4); f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения (3.4) в соответствующих точках квадрата; g – квадратная матрица, содержащая значения решения на границе области (граничные условия) и начальное приближение для решения внутри области в соответствующих точках квадрата; rJac– спектральный радиус итераций Якоби в интервале от 0 до 1, управляющий сходимостью алгоритма релаксации.

Дата добавления: 2015-11-13