Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Часть I) и их решение



Читайте также:
  1. II. Основная часть
  2. II. Основная часть
  3. II. Основная часть
  4. II. Основная часть
  5. II. Основная часть
  6. II. Основная часть
  7. II. Основная часть

Задача 1. Рассмотреть следующие операторы

а) инверсии ;

б) трансляции ;

в) изменения масштаба ;

г) комплексного сопряжения .

 

Решение. Представим в форме

, где и . (1.1)

Учтем, что соотношения а-г (см. условие задачи) справедливы для каждой из функций , входящих в суперпозицию (1.1). Тогда имеем:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Таким образом, лишь последний из рассмотренных операторов не удовлетворяет свойству линейности.

 

Задача 2. Используя свойства

1. ; (2.1)

2. ; (2.2)

3. (2.3)

скалярного произведения

, . (2.4)

Доказать неравенство Коши-Шварца-Буняковского

. (2.5)

Решение. Запишем норму функции вида

, где -вещественное число .

Тогда из с учетом (2.1)-(2.3) найдем

.

Ввиду произвольности положительность нормы достигается при условии неположительности дискриминанта

,

поставленного в соответствие неравенству . Легко видеть, что из автоматически следует неравенство (2.5). Знак равенства в формуле (2.5) имеет место в том и только в том случае, когда функция и пропорциональны друг другу, т.е.

, .

 

Задача 3. Найти оператор , если

а) , ; , ;

б) , ; , .

Решение. Подставляя явный вид в правую часть и проводя интегрирование по частям, получим

а) ,

б) ,

.

Здесь использовано обращение функций и в нуль на бесконечности в случае (а) и условие периодичности функции и в случае (б). В обоих случаях оператор не совпадает с оператором .

 

Задача 4. Показать, что произвольный линейный оператор может быть представлен в виде

; , .

Решение. Легко видеть, что справедливо разложение на сумму

двух операторов, первый из которых является эрмитовым:

, ,

а второй – антиэрмитовым:

.

С их помощью будем иметь

; , ;

, .

Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.

 

Задача 5. Найти , если - произведение эрмитовых операторов и

Решение. Из определения имеем

;

, /

Отсюда с учетом эрмитовости и найдем

. (5.1)

Легко видеть, что в общем случае .

 

Задача 6. Показать, что при условии эрмитовости и операторы и , также эрмитовы.

Решение. Из решения задач 4 и 5 следует, что линейному оператору можно поставить в соответствие два самосопряженных оператора:

;

Эрмитовость операторов , и равенство (5.1) приводят к эрмитовости операторов и :

; .

 

Задача 7. Используя определение (7.1) и свойство (7.2), показать, что уравнение (7.3) имеет решение лишь для вещественного числа .

Решение. Подставляя

,

где - решение уравнения (7.3), в определение эрмитова оператора (7.1), запишем

.

Используя свойство (7.2), вынесем число , стоящее слева и справа от запятой, за знак скалярного произведения. Это дает

.

Сокращая на положительное число , получим

.

 

Задача 8. Доказать, что собственные функции эрмитова оператора с невырожденным дискретным спектром ортогональны.

Решение. В качестве функции и в определении рассмотрим и , являющиеся решениями уравнений

, (8.1)

соответственно. Воспользуемся определением (7.1) эрмитова оператора, записав его в форме .

Подставляя сюда правые части уравнений (8.1) и учитывая свойство (7.2), получим

.

В силу вещественности и невырожденности собственных значений и , отсюда найдем

; , , (8.2)

что и требовалось доказать.

Объединяя равенства (8.4) и (8.2), запишем условие ортонормированности

(8.3)

собственных функций эрмитова оператора с невырожденным дискретным спектром.

 

Задача 9. Используя свойство ортонормированности (8.2), найти коэффициенты разложения произвольной функции по базису в гильбертовом пространстве.

Решение. В качестве базиса выберем собственные функции оператора , полученные решением уравнения (7.3) и удовлетворяющие условию (8.3). Искомое разложение представим в форме

,

где суммирование проводится по всем значениям индекса (т.е по всем собственным значениям оператора ). Для нахождения коэффициентов запишем скалярное произведение

.

Преобразуем его с учетом свойств (7.2), , (8.3). Это дает

Таким образом, окончательно запишем

, .

Коэффициент имеет смысл проекции функции на орт гильбертова пространства.

 

Задача 10. Решить уравнение (7.3) для оператора

,

Решение. Из решения задачи 3б и равенств (10.1) найдем

,

т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид

.

Решая его, найдем

.

Из условия периодичности (см. задачу 3б)

вытекает равенство

,

из которого получаем ограничение

;

Из дискретности и невырожденности спектра следует, что после нормировки (8.4) функции будут обладать свойством (8.3).

Запишем условие нормировки (8.4) в виде

В общем случае постоянный множитель есть комплексное число. однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя

, (10.1)

будем предполагать вещественность константы . Это дает

Окончательно запишем

;

 

Задача 11. Решить уравнение (7.3) для оператора

, .

Решение. Из (10.1) и решения задачи 3а следует, что рассматриваемый оператор Эрмитов. Следовательно, его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид

,

Решая его, найдем

. (11.1)

Норма функции неограниченна, поскольку

.

Следовательно, при соответствующем выборе константы функции и вида (11.1) будут удовлетворять условию (11.2).

Для расчета воспользуемся равенством . Собственный дифференциал для функции (11.1) имеет вид

.

Подставляя в определение нормы (11.3), приходим к интегралу

который после замены переменных

приводя к виду

Используя табличный интеграл

из условия нормировки получим

Как и в задаче 10, константу нормировки выберем вещественной. Таким образом, окончательно запишем

. (11.4)

 

Задача 12. Для стационарного состояния вида

(12.1)

описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:

а)

б)

Решение. а) По определению (12.2), запишем

(12.3)

Расчет числителя (12.3) дает

где использованы соотношения

Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим

Следовательно, для будем иметь

б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем

. (12.4)

Расчет числителя (12.4) дает

таким образом, для будем иметь

 

Задача 13. В - представлении решить уравнение (13.1) для оператора .

Решение. В одном случае имеем

(13.2)

где - некоторое собственное значение оператора . Учитывая определения

(13.6)

отсюда найдем

(13.3)

Равенство (13.3) возможно лишь при условии, что равна нулю всюду, кроме точки . Среди решений уравнения (13.2) или (13.3) не существует ни одной квадратично-интегрируемой функции. Единственной функцией, удовлетворяющей (13.2) и нормировке (11.2), является дельта-функция, определенная равенствами

, (13.4)

. (13.5)

Таким образом, функция имеет вид

.

В трехмерном случае вместо (13.2) запишем

. (13.7).

В силу (13.6) оператор представим в виде суммы трех коммутативных операторов: . Это обстоятельство позволяет для решения уравнения (13.7) использовать метод разделения переменны. Это дает

(13.8)

Решая (13.8) и учитывая равенство

(13.9)

вытекающее из определения дельта-функции в - мерном пространстве векторов :

, (13.10)

для найдем

.

 

Задача 14. В - представлении найти собственную функцию оператора импульса.

Решение. Записывая (14.1) в декартовых координатах

(14.2)

и учитывая, что представим в форме суммы трех коммутативных операторов (так же, как и ),

(14.3)

воспользуемся решением сходной одномерной задачи II. Уравнение (13.1) в обозначениях (14.3) принимает вид

(14.4)

Уравнения (14.4) сводятся к трем одномерным уравнениям

подобным исследованному в задаче II. Из (11.4) имеем

(14.5)

Вещественная, как и в (11.4), константа находится из условия нормировки (11.2)

(14.6)

Подставляя (14.5) в (14.6)

и проводя под интегралом замену переменных , найдем

что с учетом (13.5) дает

Подставляя найденную константу в (14.5) получим

что вместе с (14.4) дает

(14.7)

Условие ортонормированности (11.2) для собственной функции (14.7) оператора импульса с учетом (13.9) и (14.6) имеет вид

(14.8)

Здесь индексами 1 и 2 нумеруются различные значения и вектора , тогда как в (14.4) эти же индексы используются для обозначения проекций и вектора на соответствующие оси декартовых координат.

 

Задача 15. В - представлении получить явный вид оператора , используя координаты а) декартовы; б) сферические.

Решение. а) В декартовых координатах (14.3) и (14.2) имеем

(15.1)

б) Переход от декартовых координат к сферическим определяется формулами:

(15.2)

(15.3)

Для операторов и переход (15.2) к сферическим координатам дает

Подставляя эти выражения в (15.1), запишем

(15.4)

С учетом (15.3) произведенные сферических координат и выражения в круглых скобках (15.4) приводятся к виду

(15.5)

Подставляя вторую строку (15.5) в (15.4), для оператора в сферических координатах получаем

(15.6)

 

Задача 16. В сферических координатах - представления найти собственную функцию оператора .

Решение. Оператор (15.6)связан с оператором задачи 10 равенством

Используя решение задачи 10, для собственных функций , удовлетворяющих уравнению

(16.1)

(где - собственное значение оператора , соответствующее ), получаем

(16.2)

 

Задача 17. В - представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .

Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем

(17.1)

Интересующее нас решение ищем на отрезке (17.2)

Поскольку в точках и потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись в области (17.2), частица все время будет находиться в ней. Из формул (17.3) и

(17.4) следуют соотношения

где - волновая функция , удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера

(17.5)

совпадающему с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости от характера спектра), т.е. функция , удовлетворяющая (17.5), есть собственная функция оператора , соответствующая собственному значению . Из сказанного вытекают граничные условия , накладываемые на решение уравнения (17.5).

Таким образом, приходим к задаче

(17.6)

Отсюда следует:

(17.7)

Положительность собственного значения оператора вытекает из положительности и . Решение уравнения (17.7) представимо в виде суперпозиции двух элементарных состояний, которые на языке (17.3) интерпретируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси :

(17.8)

Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений

(17.9)

для неизвестных коэффициентов . Критерий существования тривиального решения этой системы

дает условие квантования

собственного значения (17.5). Это означает, что обладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения

где - пока неизвестная вещественная (в силу наличия у произвольного фазового множителя (10.1) это всегда возможно) константа, для функции (17.8) будем иметь

(17.10)

Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид

Отсюда с учетом решения задачи 12 находим

Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме

(17.11)

 

Задача 18. Используя формулы (17.4) и решения задач 13 и 14, найти плотности вероятностей и для стационарного состояния (см. задачу 17).

Решение. а) Согласно (17.3) амплитуда разложения состояния по базису равна

В силу нормировки на единицу из (17.4) и (17.11) найдем

(18.1)

б) Аналогично (18.2) для амплитуды разложения по базису запишем

Подставляя сюда из (17.11), вводя обозначения

и проводя интегрирование, получим

.

Учитывая равенства

для в (17.4) будем иметь

Подставляя в (17.4), запишем

(18.3)

Условие нормировки в (18.3) вытекает из равенства Парсеваля в форме

справедливой в случае непрерывного спектра собственных значений оператора .

 

Задача 19. Рассчитать коммутатор .

Решение. Для нахождения явного вида оператора необходимо рассмотреть результат его действия на произвольную функцию . Используя (13.6), (14.2) и определение (19.1), запишем

. (19.2)

 

Задача 20. Найти коммутатор .

Решение. Используя (19.2) и вид в - представлении (20.1), запишем

. (20.2)

 

Задача 21. Показать, что .

Решение. Воспользуемся соотношением

, (21.1)

легко проверяемым непосредственной подстановкой всех коммутаторов в (21.1) согласно определению (19.1).

Тогда для искомого коммутатора запишем

. (21.2)

Ввиду симметричности (относительно перестановки индексов) оператора и антисимметричности (согласно определению (20.1)) тензора двойное суммирование в (21.2) по индексам и дает нуль. Равенство

(21.3)

объясняется также и тем, что скалярный оператор инвариантен относительно преобразования

. (21.4)

Задача 22. Используя неравенство Коши-Шварца-Буняковского получить нижнюю границу для дисперсии наблюдаемой .

Решение. Выбирая в качестве и функции

и используя неравенство

, (22.1)

получим

. (22.2)

В силу эрмитовости оператор так же эрмитов (7.1), т.е. выполняется равенство

. (22.3)

Согласно определению (13.5) неравенство (22.2) принимает вид

.

Отсюда с учетом

(22.4)

(22.5)

получим

.

Таким образом, мы нашли, что наименьшее из возможных значений дисперсии (и среднеквадратичного отклонения ) физической величины равно нулю.

 

Задача 23. Доказать, что обращается в нуль, если соотношение, по которому проводится усреднение, описывается собственной функцией оператора .

Решение. Пусть в качестве в (13.5) выбрана , удовлетворяющая (7.3). Тогда в силу

, (23.1)

(23.2)

и (13.5) запишем

.

С учетом определения (22.5) и равенства (22.3) это дает

.

Верно и обратное: равенство нулю нормы некоторой функции

реализуется лишь в случае равенства нулю этой функции:

. (23.3)

Сравнивая равенство (23.3) с уравнением (7.3), заключаем, что оно возможно, если - одна из собственных функций оператора

,

где - собственное значение оператора , соответствующее этой собственной функции.

 

Задача 24. Для стационарного состояния (17.11) рассчитать и (см. задачу 12).

Решение. Согласно определению (24.1) запишем

. (24.2)

Для получения и (с учетом (24.3) и (24.4) нам остается рассчитать и . По определению (13.5) для имеем

. (24.5)

а) В случае число находится вычислениями

,

подобными проделанным в задаче 12а. Следовательно,

. (24.6)

Подставляя (24.6) и (24.3) в (24.2), получим

. (24.7)

б) Для оператора (см. задачу 12б) найдем

.(27.8)

Подстановка (24.8) и (24.4) в (24.2) дает

. (24.9)

 

Вопросы для экзамена по квантовой механике (программа минимум).

 

§1. Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии ................. 16

§2. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора . 16

§3. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора . 18

§4. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы ....................................... 19

§5. Волновое уравнение. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки 21, 29

§6. Производная оператора по времени. Интегралы движения в кв. механике.................. 23

§7. Флуктуации физических величин. Неравенство Гайзенберга......................................... 24

§8. Оператор Гамильтона различных систем. Стационарное состояние различных систем 27

§9. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы... 31

§10. Собственные функции и собственные значения оператора ...................................... 37

§11. Собственный механический момент (спин). Операторы и и их свойства......... 39

§12. Спиновая переменная волновой функции....................................................................... 41

§13. Матрицы Паули и их свойства.......................................................................................... 42

§14. Принцип тождественности................................................................................................ 45

§15. Оператор перестановки и его свойства............................................................................ 46

§16. Симметричное и антисимметричное состояния.............................................................. 47

§17. Обменное взаимодействие................................................................................................. 50

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 215 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.099 сек.)