Решение алгебраических уравнений

До сих пор мы получали многомерные дискретные аналоги с помощью прямого распространения результатов, полученных при рассмотрении одномерной задачи. Единственной процедурой, которая не может быть непосредственно распространена на многомерную задачу, является алгоритм, учитывающий трехдиагональность матрицы коэффициентов (метод прогонки). Прямые методы решения алгебраических уравнений (не требующие итераций), применяемые к 2D и 3D задачам, становятся более сложными и требуют существенно большей оперативной памяти и затрат времени.

Для линейных задач (в которых необходимо только один раз обратиться к процедуре решения алгебраических уравнений) можно использовать прямые методы, но в нелинейных задачах уравнения решаются с неоднократно подправленными коэффициентами, поэтому применение прямых методов представляется неэкономичным.

Альтернативой прямым методам являются итерационные методы решения алгебраических уравнений. Начиная с некоторого начального поля температуры Т (зависимая переменная), последовательные повторения алгоритма приводят к решению, которое достаточно близко к точному решению алгебраических уравнений. Итерационные методы обычно требуют очень небольшого дополнительного объема памяти компьютера и являются удобным способом для преодоления нелинейностей. В нелинейной задаче нет необходимости находить решение алгебраических уравнений с высокой точностью до окончательной сходимости коэффициентов дискретного аналога. Оказывается, что, вообще, должно быть определенное соответствие между усилиями, требуемыми для расчета коэффициентов и затрачиваемыми на решение уравнений.

Один раз рассчитав коэффициенты, мы должны с этим набором коэффициентов выполнить необходимое число итераций для получения решения уравнения, но неразумно тратить много усилий на решение уравнений, которые основываются только на приближенных значениях коэффициентов.

Существует много итерационных методов для решения алгебраических уравнений. Остановимся на двух из них.

Дата добавления: 2015-07-11