Приклади. 1) Знайти найбільше і якнайменше значення функції на відрізку [–2; –0,5].

Читайте также:

1) Знайти найбільше і якнайменше значення функції на відрізку [–2; –0,5].

Знайдемо критичні точки функції.

Обчислимо значення функції в знайденій крапці і на кінцях заданого відрізка.

Отже,

2) Знайти найбільше і якнайменше значення функції y=x-2 -·ln x на [1; e ].

Опуклість і угнутість графіка функції. точки перегину

Графік функції y=f(x) називається опуклим на інтервалі (а; b), якщо він розташований нижче будь-якою своєї дотичної на цьому інтервалі.

Графік функції y=f(x) називається увігнутим на інтервалі (а; b), якщо він розташований вище будь-якою своєї дотичної на цьому інтервалі.

На рисунку показана крива, опукла на

(а; b) і увігнута на (b; с).

Приклади.

Півколо є опуклим на [–1; 1].

Парабола у = x² увігнута на інтервалі (- ; + ).

Графік функції в одних інтервалах може бути опуклим, а в інших увігнутим. Так графік функції у =sin x на [0;2 π ], опуклий в інтервалі (0; π) і увігнутий в (π; 2 π).

Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи буде графік функції в даному інтервалі опуклим або увігнутим.

Теорема. Нехай y=f(x) є диференційованою на (а; b). Якщо в усіх точках інтервалу (а; b) друга похідна функції у=f(x) від’ємна, тобто f''(x)< 0, то графік функції на цьому інтервалі опуклий, якщо f''(x)> 0 – увігнутий.

Приклади.

1) Встановити інтервали опуклості і угнутості кривої у = 2 – x².

Знайдемо у '' і визначимо, де друга похідна додатна і де від’ємна. у' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), отже, функція усюди опукла.

2) у = e^x. Оскільки y'' = e^x > 0 при будь-яких x, то крива усюди увігнута.

3) у = x³. Оскільки y'' = 6x, то y'' < 0 при x < 0 і y'' > 0 при x > 0. Отже, при x < 0 крива опукла, а при x > 0 увігнута.

Точка графіку безперервної функції, що відділяє його опуклу частину від увігнутої, називається точкою перегину.

Очевидно, що в точці перегину дотична, якщо вона існує, перетинає криву, оскільки з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, а з другого боку – над нею.

Визначимо достатні умови того, що дана точка кривої є точкою перегину.

Теорема. Нехай крива визначається рівнянням у = f(x). Якщо f ''(x₀)= 0 або f ''(x₀) не існує і під час переходу через значення x = x₀ похідна f ''(x) змінює знак, то точка графіка функції з абсцисою x = x₀ є точка перегину.

Приклади. Знайти точки перегину і визначити інтервали опуклості і угнутості кривих.

Знайдемо похідні заданої функції першого та другого порядку.

Друга похідна не існує при x = 1. Дослідимо цю точку на можливий перегин.

Отже, точка перегину x = 1. Функція опукла на (1; + ), увігнута на (– ; 1).

Можливі точки перегину знайдемо, вирішивши рівняння 2x² – 1 = 0. Звідси .

Точки перегину . Функція опукла на і увігнута на .

3) у = ln (1 – x²). Область визначення функції D(y)= (-1; 1).

при всіх x з (–1; 1). Отже, f(x) опукла на (–1; 1).

Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою графіка функції у = f(x), якщо відстань від змінної точки M графіка до цієї прямої при видаленні точки M в нескінченність прагне до нуля, тобто точка графіка функції при своєму прагненні в нескінченність повинна необмежено наближатися до асимптоти.

Надалі розрізнятимемо асимптоти вертикальні й похилі.

Для відшукання вертикальних асимптот графіка функції у = f(x) потрібно знайти ті значення x = x₀, при яких функція звертається в нескінченність (терпить нескінченний розрив). Тоді вертикальна асимптота має рівняння x = x₀.

Приклад.

Знайти вертикальні асимптоти графіка функції .

Оскільки , то пряма x =2 є вертикальною асимптотою.

Пряма x = 0 – вертикальна асимптота.

Оскільки асимптота – це пряма, то якщо крива у = f(x) має похилу асимптоту, те її рівняння буде у = kx + b. Наша задача знайти коефіцієнти k і b.

Теорема. Пряма у = kx + b служить похилою асимптотою при x → +∞ для графіка функції у = f(x) тоді і тільки тоді, коли .

Аналогічне твердження вірне і при x → –∞.

Приклади. Знайти асимптоти кривих.

1) .

Вертикальні:

x = 0 – вертикальна асимптота.

Похилі:

При x → -∞ набудемо ті ж значень k і b. Отже, пряма у = x + 2 є похилою асимптотою.

2) у = e^–x sin x + x.

Функція визначена і безперервна на всій числовій прямій, отже, вертикальних асимптот немає.

а) .

Отже, при x → +∞ похила асимптота у= х.

б) , оскільки

, тому при x → - ∞ похилих асимптот немає.

3) у = x – 2arctg x.

Вертикальних асимптот немає.

а) .

. Похила асимптота у = x – π при .

б) при .

Загальна схема дослідження функції і побудови графіків

1. Знайти область допустимих значень (ОДЗ) і точки розриву функції.

2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

3. Провести дослідження функції за допомогою першої похідної, тобто знайти точки екстремуму функції і інтервали зростання і спадання.

4. Дослідити функцію за допомогою похідної другого порядку, тобто знайти точки перегину графіка функції і інтервали його опуклості і угнутості.

5. Знайти асимптоти графіка функції: а) вертикальні, b) похилі.

6. На підставі проведеного дослідження побудувати графік функції.

Перед побудовою графіка корисно встановити, чи не є дана функція парною або непарною. (функція називається парною, якщо при зміні знаку аргументу значення функції не міняється: f(-х) = f(x) і функція називається непарною, якщо f(-х) = -f(x)). В цьому випадку достатньо дослідити функцію і побудувати її графік при додатних значеннях аргументу, що належать ОДЗ. При від’ємних значеннях аргументу графік добудовується на тій підставі, що для парної функції він симетричний щодо осі Oy, а для непарної – щодо початку координат.

Приклади. Дослідити функції і побудувати їх графіки.

1) .