Примеры решения задач. 1. Выразить через , где и вычислить значение выражения при

1. Выразить через , где и вычислить значение выражения при

Решение. .

Поделим числитель и знаменатель дроби на выражение ,

получаем .

Аналогично получаем остальные формулы:

,

;

преобразуем ;

далее

Ответ:

2. Упростить: .

Решение. Для упрощения этого выражения применяем формулу синуса двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество.

Ответ:

3. Решить уравнение .

Решение. ; ; , .

Ответ: , .

4. Найти корни уравнения на интервале

Решение.

Используем типовую формулу: , .

Та как , то , поскольку для нахождения корней задан промежуток [0;π]. Тогда .

Поскольку это значение корня не входит в заданный в условии промежуток, возьмем симметричное ему значение (т.к. функция косинус симметрична относительно оси ординат) – это , это значение входит в заданный промежуток и является решением уравнения.

Ответ:

5. Решить уравнение

. Решение. Воспользуемся формулой разности косинусов двух углов:

,

,

,

,

,

Ответ:

6. Решить уравнение на интервале (0; 180^о).

Решение: Для решения уравнения применим формулу двойного аргумента для косинуса: .

Чтобы привести уравнение к однородному виду, заменим соs² x на , получаем

, сделаем замену:

Вернемся к замене: – это значение синуса не входит в заданный в условии интервал (0; 180^о)

табличное значение, и , поскольку на интервале (0; 180^о) оба эти угла соответствуют одному и тому же значению синуса.

Ответ: и .

7. Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть уравнения по свойству степеней

Обозначим получим:

или

Вычисляем дискриминант и корни квадратного уравнения:

(не удовлетворяет).

так как то

Воспользуемся формулой:

Тогда уравнение примет вид:

,

,

,

Ответ:

8. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем исходное уравнение, используя известные тригонометрические формулы.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в этом уравнении.

;

;

.

Пусть , где .

Тогда, после замены переменной, уравнение примет вид: .

Решая это квадратное уравнение, получим: и . Второй корень является посторонним, так как он не удовлетворяет условию .

Итак, получим: ; , где .

Ответ: , где .

9. Решить уравнение: .

Решение. Для решения этого уравнения используем основное тригонометрическое тождество: .

Возведем в третью степень обе части этого тождества:

.

Поэтому левую часть исходного уравнения можно записать в виде:

.

Тогда уравнение примет вид:

;

;

.

Используя формулу для синуса двойного угла, получим:

;

Приведем подобные слагаемые и сделаем замену переменной , где . Тогда получим квадратное уравнение , которое имеет корни:

и . Второй корень является посторонним, так как он не удовлетворяет условию .

Итак, получим: , поэтому , где .

Окончательно имеем: , где .

Ответ: .

10. Решить неравенство .

Решение.

t ₁

–

l

t ₂

Все решения, удовлетворяющие заданному неравенству, лежат на дуге l. Найдем ее концы:

С учетом периода синуса, запишем ответ:

.

Ответ:

Дата добавления: 2015-10-21