Комплексный коэффициент передачи. Годограф

Комплексным коэффициентом передачи (ККП) устройства или системы называется отношение комплексного сигнала на выходе к комплексному сигналу на входе в установившемся режиме.

Под установившимся режимом понимается тот факт, что сигнал на входе действует бесконечно долго.

Математически это определение можно записать следующим образом (3.8)

где , - комплексные сигналы на входе и выходе.

Можно показать, что аналитическое выражение для ККП получается из выражения для передаточной функции W(p), в которой делается замена , т.е.

Тогда из (2.9) получим: (3.9)

Из этого выражения следует, что ККП является отношением полиномов аргумента .

Выражения при четных i дают действительные значения, а при нечетных - мнимые значения различных степеней частоты .

Принимая это во внимание, выражение (3.9) для ККП перепишем в виде (3.10)

где A(), C() -полиномы с четными степенями частоты,

B(), D() -полиномы с нечетными степенями частоты.

Помножим числитель и знаменатель (3.10) на выражение C() - jD(). Избавимся таким образом от мнимости в знаменателе (3.10) и получим

W(j ) = P() + jQ(), (3.11)

где P() - действительная часть ККП, Q() - мнимая часть ККП, причем ; .

Выражение (3.11) есть алгебраическая форма записи ККП. На практике ККП чаще представляется в показательной форме: (3.12) где - модуль ККП, - аргумент ККП.

Пример: тогда = = ,где .

Если построить комплексную плоскость, ось абсцисс которой представляет действительные значения P(), а ось ординат - мнимые значения jQ() комплексного коэффициента передачи, то при изменении частоты от нуля до бесконечности на этой плоскости образуется последовательность точек - некая кривая, называемая годографом ККП.

На рис.3.3 приведен годограф ККП, описываемый выражением

где ; .

Рис.3.3 Годограф ККП инерционного устройства

При воздействии на вход линейной системы гармонического сигнала на ее выходе в установившемся режиме сигнал тоже будет гармоническим, причем частоты входного и выходного сигналов совпадают.

Выражение для выходного сигнала определяется по (3.7) с учетом (3.8): ,

где .

При перемножении комплексных чисел лучше всего использовать показательные формы их представления.

Тогда = откуда .

Из этого выражения видно, что амплитуда выходного сигнала изменилась в W() раз, а фаза получила приращение на величину .

9. Частотные характеристики САУ: АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ.

Дата добавления: 2015-09-07