Передаточная функция и ее связь с дифференциальным уравнением

Связь между входным х(t) и выходным у(t) сигналами в системах автоматического управления в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида:

... = ... . (2.4)

Введем символ дифференцирования Тогда выражение можно записать в виде Запись вида в этом случае недопустима. Тогда уравнение (2.4) с использованием символа дифференцирования компактно можно записать в виде: (2.5)

В этом выражении сигналы у(t) и х(t) нельзя выносить за знаки суммы, т.к. ­­ не сомножители, а символы дифференцирования.

Преобразуем по Лапласу левую и правую части выражения (2.5) и, с учетом описанных в 2.2 первого и второго свойств, получим: (2.6)

В этом выражении являются сомножителями, поэтому изображения Y(р) и Х(р) можно вынести за знаки сумм, в результате получим: . (2.7)

Введем понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала, т.е.: (2.8)

Выражение (2.8) есть математическая запись определения передаточной функции системы. Из (2.7) следует: (2.9)

Выражение (2.9) показывает, что передаточная функция системы описывается дробно-рациональной функцией, являющейся отношением двух полиномов комплексного аргумента

Выражения (2.5) и (2.9) устанавливают взаимно-однозначную связь между описываемым систему дифференциальным уравнением и ее передаточной функцией. Отсюда следует, что по дифференциальному уравнению однозначно можно записать передаточную функцию, а по виду передаточной функции - дифференциальное уравнение системы. Любая система однозначно определяется коэффициентами а_i, b_i и порядком m дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2015-09-07