Пару можно переносить на параллельную плоскость действия.

Доказательство

· Пусть к твердому телу приложена пара сил с плечом (рис.6.8), которые лежат в плоскости .

· Параллельно плоскости проведем плоскость и проведем на ней отрезок , который равен и параллелен отрезку .

· В точках и приложим две уравновешенные системы сил,:

, так как и , так как ,

силы которых равны по модулю

.

· Сложим параллельные силы и направленные в одну сторону силы, приложенные в противоположных углах параллелограмма:

, .

Результирующие силы и равны по модулю, противоположно направлены и приложены в одной точке, совпадающей с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому они образуют уравновешенную систему , которую можно исключить.

Рис. 6.8.

· Оставшиеся две силы образуют пару сил , которая эквивалентна заданной паре и имеет тот же момент, но расположена в параллельной плоскости.

Все три утверждения доказаны:

ни величина модуля силы, ни размер плеча, ни направление сил пары значения не имеют. Существенной характеристикой пары является только ее момент.

Доказанные утверждения, позволяют преобразовывать и переносить пару, сохраняя при этом вектор ее момента неизменным.

ВЫВОД:

момент пары — вектор свободный. Он не связан с какой-либо точкой или линией действия и может быть перенесен параллельно в любую точку тела.

6.5. СЛОЖЕНИЕ ПАР

Приведенная ниже теорема говорит о том, как скла­дывать пары сил, т. е. как найти одну пару, эквивалентную системе пар.

ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР

Система пар с моментами эквивалентна одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов этих пар:

(6.5)

Доказательство

Докажем, прежде всего, при­веденную теорему для двух пар, поскольку дальше это доказательство легко распространяется на любое число пар.

Пусть имеются две пары: пара (, ) и пара (, ), расположенные в плоскостях и (рис. 6.9), образующих произвольный угол , и имеющие моменты и соответственно.

Произведем следующие преобразования.

Сохраняя значения моментов, изменим величины сил и плечи следующим образом: пусть модули всех четырех сил будут равны , и тогда плечи пар станут равны и .

Рис. 6.9.

Переместим эти пары в плоскостях так, чтобы силы и были направлены противоположно друг другу по линии пересечения плоскостей.

Тогда уравновешен­ную систему сил и можно исключить.

Система двух пар действительно оказалась эквивалентной одной паре из сил и с плечом .

Осталось показать, что момент этой пары ра­вен векторной сумме моментов исходных пар, модули которых и , а их векторы направлены перпендикулярно плоскостям и .

Вычислим момент пары :

То есть, для двух пар сложение моментов выполняется по правилу параллелограмма.

Дата добавления: 2015-08-13