Для равновесия твердого тела, находящегося под действием трех непараллельных сил, необходимо, чтобы линии их действия пересекались в одной точке.

Доказательство

· Пусть на тело действуют (рис. 4.5) три силы

· Перенесем силы в точку пересечения линий действия и сложим их:

· Тогда на тело будут действовать только две силы: .

Под действием двух сил по I аксиоме тело может находиться в равновесии только когда силы равны по величине, противоположно направлены и лежат на одной прямой. Отсюда следует необходимость пересечения линий действия трех сил в одной точке.

Рис. 4.5

Примечания

· Пересечение линий действия трех сил в одной точке возможно только при условии, что все три силы лежат в одной плоскости;

· Теорема о трех силах дает необходимое условие равновесие, без которого равновесие в принципе невозможно. Достаточным условием является замкнутость силового треугольника.

ПРИМЕР

Определить направления реакций опор невесомой трехшарнирной арки, находящейся под действием некоторой силы (рис. 4.6, а).

Решение

Арка находится под действием трех сил, однако направления реакций и неизвестны.

Поскольку в арке имеется шарнир, расчленим ее по этому шарнир на две части и рассмотрим равновесие каждой части (каждой полуарки) отдельно.

Правая часть находится в равновесии под действием только двух сил и (где — реакция со стороны левой части, т. е. усилие, передаваемое через шарнир). Следовательно, линии действия этих сил совпадают — это линия ВС, и при этом = (рис. 4.6, в).

Левая часть находится под действием трех сил: и (где — реакция со стороны правой части — это такая же по модулю сила, что и на правой части, но направленная противоположно, в соответствии с аксиомой равенства действия и противодействия, то есть = ).

Рис. 4.6

Тогда, по теореме о трех силах, линия действия силы проходит через точку пересечения линий действия сил и (рис. 4.6, б). Из полученного рисунка видно, что .

Рис. 4.7

Направление реакций можно определить, построив силовой треугольник для правой части, одним из приведенных на рис 4.7 способов.

Дата добавления: 2015-08-13