Вероятности.

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике же очень часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение не применимо. Однако иногда в таких случаях можно пользоваться другим методом вероятности, в котором по прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Отсюда и возникает само название метода - геометрическая вероятность. Для определения ограничимся двумерным случаем. Одномерный и трехмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них нужно говорить о длинах и объемах.

Итак, пусть на плоскости имеется некоторая область Д,

площадь которой S,

и в ней содержится

другая область d,

площадь которой S_d.

В область Д наудачу бросается точка.

Спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадает в область d? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области Д и вероятность попасть в какую-либо часть области Д пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область d при бросании наудачу точки b область Д равна

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т.е. длиной, площадью или объемом, то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Капсула с космонавтами должна приземлиться в данный круг с радиусом 2 км. Вероятность приземления в любое место круга одинаковая. Какова вероятность приземления космонавтов:

а) от центра круга на расстоянии меньше 1 км.

б) в заданном секторе, составляющем 0,1 площади этого круга.

Решение: Область С₁ - круг с радиусом 2 км. Площадь этого круга S =4 .

Область С₂ - круг с радиусом 1 км. и площадью S₁ =

а) Событие А - приземление в область С_2.

Тогда

б) Событие В - приземление в сектор, площадь которого S = 0,1 S.

Поэтому

Задача 2. Велосипедист прибудет в город С обязательно в течение суток. Вероятность прибытия в любой момент одинакова. Найти вероятность того, что он прибудет в течение данного часа.

Решение: Обозначим через А- событие, что велосипедист прибудет в город в течение данного часа. Областью S является промежуток 24 часа, а S _А-1 час. Поэтому

Дата добавления: 2015-08-13