Классическое определение вероятности.

Вероятность события- численная мера, характеризующая степень возможности появления события А в данном испытании. Вероятность события обозначается символом Р(А) - (Р- есть первая буква слова probabilitas ­вероятность). Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих событию А исходов испытания к общему числу n исходов равновозможных и несовместных. Это определение вероятности (1) называется классическим, оно было дано французским математиком Лапласом. Так как m < n, то вероятность события принимает значения от 0 до 1. Исходя из определения вероятности события, определим вероятности достоверного, невозможного и случайного событий.

Вероятность достоверного события равна 1.

Р (U)=1 (m = n).

Вероятность невозможного события равна 0.

Р (V) = 0 (m = O).

Вероятность случайного события удовлетворяет неравенству О < Р (А) < 1.

Числа m и n находят путем прямого перечисления элементарных исходов испытания. Однако, при большом числе элементарных исходов их перечисление очень громоздко. Поэтому при подсчете числа элементарных исходов испытания используется ряд комбинаторных соотношений. Простейшая задача комбинаторики ­подсчитать число подмножеств данного множества.

Соединениями называют различные группы, составленные из каких-либо объектов, элементов. Различают три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания. Перестановками из n элементов называют соединения, содержащие все n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок из n элементов находится по формуле:

Р_n= n! = 1×2×3×...× n (2)

0! = 1

Например: Р₃= 3! =1×2×3 = 6

Размещениями из n элементов по k в каждом (k£n) называют такие соединения, в каждое из которых входит К элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по k находят по формуле:

Например:

Сочетаниями из n элементов по k (k£n) называют соединения, в каждое из которых входит к элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Число сочетаний из n элементов по к находят по формуле:

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. Продавец должен выставить на витрине четыре различных по цвету бокала. Сколькими различными способами он их может поставить?

Решение: Каждый способ расстановки будет отличаться лишь порядком различных по цвету бокалов, поэтому число способов равно Р₄ =4!=1×2×3×4 =24.

Задача 2. Группа студентов cостоит из 25 человек. Надо выбрать старосту, комсорга, профорга и физорга. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый студент может занимать лишь один пост?

Решение: Так как здесь играет роль и то, кто будет выбран, и то, какие посты займут избранные, в этом случае надо найти число размещений из 25 человек по 4. Поэтому выбор может быть сделан.

способами.

Задача 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы одному юноше?

Решение: В одной команде играет один юноша, а в другой- двое. Юношей можно разбить на команды тремя способами. После этого надо выбрать в первую команду три девушки из пяти. Это можно сделать

способами.

Всего по правилу произведения 3 ×10 = 30 способов разбивки на команды.

Задача 4: На пяти одинаковых карточках написаны буквы а,ж,к,л,о. Выкладываем эти карточки подряд. Какова вероятность, что при этом получится слова "ложка".

Решение: Всего различных перестановки из этих букв можно сделать n = Р₅=5!= 1×2×3×4×5 = 120.

Событие А- получить слово "ложка". Благоприятствовать событию А из 120 сходов будет только один исход

m = 1.Поэтому искомая вероятность

Задача 5. Из 10 пар стандартных чулок три пары

оказались второго сорта. а)Какова вероятность обнаружить при случайном отборе четырех пар чулки только первого сорта? б)Какова вероятность при случайном отборе обнаружить три пары второго сорта и одну пару первого сорта?

Решение: а) Из 10 пар чулок при случайном отборе может быть взята любая четверка пар чулок, то есть всего равновозможных несовместных исходов . Из семи пар чулок первого сорта число четверок

равно числу сочетаний из семи по четыре, поэтому . Искомая вероятность

б) Ясно, что . Число благоприятствующих исходов найдем по правилу произведения.

.

Дата добавления: 2015-08-13