Формула Бейеса.

При использовании для решения задач формул полной вероятности и Бейеса необходимо четко представлять общую схему их применения. Необходимо ввести и четко определить события-гипотезы В_i и итоговое событие А, указать вероятности гипотез Р(В _i) и условные вероятности события А при выполнении одной из гипотез

При этом необходимо помнить, что совокупность гипотез (событий В_i) всегда образует полную группу событий и поэтому сумма их вероятностей равна единице.

Пусть некоторое событие А может произойти при условии, что появляется одно из несовместных событий (гипотез) В₁,В₂,...,В_n, образующих полную группу событий.

Вероятность события А, которое может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий В₁,В₂,...,В_n образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Это равенство называют формулой полной вероятности, где - вероятность наступления события А при наступлении гипотезы В_i.

Пусть событие А произошло. То, что событие А произошло, изменит вероятности гипотез В₁,В₂,...,В_n и условная вероятность гипотезы Р_A (В_i) в предложении, что событие А произошло, определится по формуле Бейеса:

Задача 1. На сборку поступают детали из трех цехов в отношении 1:3:6. Количество бракованных деталей в продукции цехов соответственно равно 5 %,2 %, 8 %. Определить вероятность того, что:

а)наудачу взятая деталь окажется бракованной;

б)оказавшаяся бракованная деталь изготовлена во втором цехе.

Решение: Обозначим через А- событие, что взятая наудачу деталь окажется бракованной. Так как на сборку поступают детали из трех цехов, то эта деталь может быть изготовлена либо 1 цехом (гипотеза В₁), либо 2 (гипотеза В₂), либо 3 (гипотеза В₃).Следовательно, вероятность события А найдена по формуле полной вероятности:

Вероятности гипотез В₁,В₂,...,В_n, определим по формуле Р=m/n, если в качестве n принять сумму всех частей, а в качестве m - соответствующее количество частей для

данного цеха. n=1+3=6=10, m₁=1; m₂= 3; m₃=6;

Находим условные вероятности:

.

а) Вычисляем вероятность события А.

Р(А)=0,1× 0,05 + 0,3× 0,02 + 0,6 × 0,08 = 0,059

б) Используя формулу Бейеса получим:

Если по формуле Бейеса подсчитать условные вероятности всех гипотез, то они в сумме должны равняться единице.

Задача 2. Обои поступают на склад с двух фабрик:70% из первой и 30 % из второй. При этом товар первой фабрики имеет 10 % брака, второй-20 %.Найти вероятность того, что взятый наугад рулон без дефекта.

Решение: А - событие, что наугад взятый рулон без дефекта. Но этот рулон может принадлежать либо первой фабрике (событие В₁), либо второй (событие В ₂).

Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности

-вероятность того, что рулоны без дефекта.

Р(А)=0,7×0,9+0,3×0,8=0,63+0,24=0,87

Дата добавления: 2015-08-13