Метод Гауса

Розглянемо ще один метод розв’язування СЛАР — метод Гауса.

Нехай маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

(7.1)

Припустимо, що . Розділимо обидві частини першого рівняння на

(7.2)

Віднімемо від другого і третього рівнянь системи (7.1) рівняння (7.2) помножене спочатку на , потім на

(7.3)

Введемо позначення

, , ,

, , .

Тоді одержимо

(7.4)

Нехай . Розділимо обидві частини першого рівняння системи (7.4) на :

(7.5)

Віднімемо від другого рівняння системи (7.4) рівняння (7.5), помножене на :

Позначимо

, .

Тоді

.

В результаті цих операцій система (7.1) набуде так званого трикутного вигляду

Тепер визначимо всі невідомі, починаючи з останнього.

Зауваження. Якщо , то серед коефіцієнтів при , існує хоча б один відмінний від нуля. Тоді рівняння, що містить , вважатимемо першим.

Запропонований метод розв’язування СЛАР називається методом Гауса.

Карл Фрідріх Гаусс (30.04.1777-23.02.1855) видатний німецький математик, астроном, фізик.

Суть методу Гауса: шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду, коли усі елементи головної діагоналі основної матриці системи дорівнюють одиниці 1, а елементи основної матриці, що знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий вигляд системи дозволяє знайти усі невідомі.

Елементарні перетворення системи.

1. Додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке числоλ;

2. Перестановку рівнянь у системі

3. Вилучення із системи тотожності 0 0

4. Множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля.

Дві системи лінійних рівнянь називають рівносильними якщо вони мають однакові розв’язки.

Дата добавления: 2015-08-18