Приклад. Знайти алгебраїчні доповнення , відповідних елементів визначники .

Знайти алгебраїчні доповнення , відповідних елементів визначники .

;

.

Основні властивості визначника

1) Величина визначника не змінюється, якщо всі його рядки зробити стовпцями, а стовпці — рядками не змінюючи їх нумерації. Вказана операція називається транспонуванням.

Доведення.

Нехай

,

тоді, згідно твердження 1,

Отже, . Твердження доведено.

Зауваження. З властивості (1) випливає рівноправність рядків і стовпців визначника.

2) Якщо у визначника поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

Доведення.

Нехай

= .

Тоді

.

Звідки маємо

∆=-∆'.

Твердження доведено.

3) Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника однакові, то визначник дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

де . Переставимо рядки місцями. Тоді, згідно властивості 2

∆=-∆'.

Але ∆'=∆, оскільки переставлені рядки однакові. Отже, ∆=-∆. Звідки 2∆=0, тобто ∆=0.

Твердження доведено.

4) Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

тобто . Тоді

∆= = ,

∆=0.

Твердження доведено.

5) Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник також дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай

,

де . Тоді

∆= ,

∆=0.

Твердження доведено.

6) Якщо всі елементи будь-якого рядка(стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:

Доведення.

де .

Твердження доведено.

7) Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Доведення.

Нехай

.

Тоді

Твердження доведено.

Зауваження. Використовуючи цю властивість можна одержати максимальне число нульових елементів в будь-якому рядку (стовпці) визначника, після чого його обчислення значно спрощується.

Приклад

.

8) Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох відповідних визначників.

.

Зауваження. Цю властивість можна узагальнити на випадок довільного числа доданків.

9) Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Властивість (9) називають розкладанням визначника по елементам деякого рядка (стовпця).

Якщо

,

тоді

, , ,

, , .

Доведення.

Доведемо цю властивість для випадку

,

тобто покажемо, що сума добутків елементів другого рядка на їх алгебраїчне доповнення, дорівнює значенню визначника.

Твердження доведено.

Дата добавления: 2015-08-18