Приклад.

Знайти ранг матриці

1. Міняємо місцями перший і другий рядки матриць

2. Елементи першого рядка помножили на (-2) та додамо до відповідних елементів другого рядка.

3. Елементи першого рядка помножили на (-4) та додамо до відповідних елементів четвертого рядка.

4. Елементи другого рядка помножили на (-2) та додамо до відповідних елементів четвертого рядка.

5. Елементи третього рядка помножимо на (-8) та додамо до відповідних елементів другого рядка.

6. Поміняємо місцями елементи другого та третього рядків.

Отже, rang A=3.

§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Наведемо приклад системи двох рівнянь з двома невідомими:

Узагальнимо запис системи

(3.1)

Означення. Системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими називається система типу (3.1), де — невідомі, — коефіцієнти при невідомих; перший індекс і відповідає номеру рівняння в системі, j — номеру невідомого; — вільні члени; , — вважаються заданими.

Означення. Пару чисел () називають розв’язком системи (3.1), якщо внаслідок підстановки в систему (3.1) цих чисел замість невідомих , система перетворюються на тотожність.

Означення. Системою трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими називається система вигляду

(3.2)

де — коефіцієнти при невідомих системи, — вільні члени, .

Означення. Трійку чисел() називають розв'язком системи (3.2), якщо внаслідок підстановки в систему (3.2) цих чисел замість невідомих кожне з трьох рівнянь системи перетворюється у тотожність

Означення. Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона має вигляд

(3.3)

де — невідомі, — дійсні числа, які називаються коефіцієнтами при невідомих системи (індекс і вказує номер рівняння, j — номер невідого, при якому записано цей коефіцієнт); — вільні члени і,k = , .

Означення. Якщо =0 , то систему називають однорідною.

Означення. Якщо хоча б один вільний член СЛАР (3.3) не дорівнює нулю, то систему називають неоднорідною.

Означення. Розв'язком СЛАР (3.3) називають множину дійсних чисел(), підстановка яких у систему замість невідомих (), перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Означення. СЛАР, що має хоча б один розв'язок, називається сумісною.

Означення. СЛАР, що немає розв'язку, називається несумісною

Зауваження. Однорідна СЛАР завжди має розв'язок який називається тривіальним, тобто однорідні системи завжди сумісні.

Означення. Якщо m≠n, тобто кількість рівнянь СЛАР не дорівнює кількості невідомих, то система (3.3) називається прямокутною.

Означення. Якщо m=n, тобто кількість рівнянь СЛАР дорівнює кількості невідомих, то СЛАР називається квадратною.

Розділ «Лінійна алгебра» вивчає сумісність та методи розв'язування СЛАР вигляду (3.3).

Дата добавления: 2015-08-18