Приклад. З’ясувати чи існує матриця, обернена до матриці

З’ясувати чи існує матриця, обернена до матриці

і якщо існує, знайти її.

Знайдемо .

1. Δ — обернена матриця існує.

2. — союзна матриця.

3. — приєднана матриця.

4. — обернена матриця.

Властивості невироджених матриць

1)

2)

3)

Запишемо СЛАР з n рівнянь, що містить n-невідомих

(5.3)

в матричній формі

А·X=В, (5.4)

де , , .

Припустимо, що А — невироджена. Помножимо зліва обидві частини (5.4) на матрицю обернену до матриці А

,

оскільки то

(5.5)

(5.5) — формула знаходження розв’язку СЛАР (5.3) матричним способом.

Приклад.

Розв’язати СЛАР матричним способом.

, , , .

Оскільки , , то

.

Отже, , ,

.

Перевірка:

Відповідь: (0;1;-1).

§6. Ранг матриці. Теорема Кронекера–Капеллі

Нехай дано прямокутну матрицю розміру mxn:

(6.1)

Візьмемо в матриці (6.1) k-довільних рядків і k-довільних стовпців.

Означення. Визначник k-порядку, складений з k² елементів матриці А, розташованих а перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k-порядку матриці А.

Означення. Рангом матриці називають найбільший порядок її мінора, відмінного від нуля.

Ранг матриці позначають rang A.

Означення. Відмінний від нуля мінор, порядок якого r=rang A, називається базисним.

Отже, матриця А має ранг, що дорівнює r, якщо серед її мінорів порядку r є хоча б один відмінний від нуля, а всі мінори матриці вищого порядку, ніж r, дорівнюють нулю.

Дата добавления: 2015-08-18