Примеры непрерывных отображений

Пример 1. Рассмотрим плоскость П и прямую ℓ Ì П с естественными топологиями. Докажем, что ортогональное проектирование : П ® ℓ является непрерывным отображением.

Действительно, пусть для произвольной точки А Î П

(А) = А_0.

Пусть V– -окрестность точки А₀, то есть V – интервал.

В точке А рассмотрим открытый круг радиуса d = , то есть окрестность U точки А. Очевидно, (U) Ì V и,следовательно,

– является непрерывным отображением в точке А.

Так как А – произвольная точка плоскости П, то – непрерывное отображение.

Пример 2. Если Х, У – топологические пространства и : Х ® У непрерывное отображение, то образ связного множества Х¢ Ì Х является связным множеством У¢ Ì У.

Решение. Предположим противное, что образ связного множества Х¢ является несвязным множеством У¢, то есть состоит из двух множеств У₁ ¹ Æ и У₂ ¹ Æ, и при этом У₁ Ç У₂ = Æ.

Согласно определению несвязного множества можно считать, что У₁ и У₂ – открытые множества в топологии, индуцированной на (Х¢).

Тогда,

открытые множества в Х.

Так как при этом

Х₁ Ç Х₂ = Æ,

Х₁ ¹ Æ,

Х₂ ¹ Æ,

Х₁ È Х₂ = Х¢,

то Х¢ – несвязное множество.

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Теорема 3. Если Х – компактное топологическое пространство, У – топологическое пространство и : Х ® У непрерывное отображение, то (Х) компактно в У.

Доказательство. Пусть = {G }– открытое покрытие множества (x) в У.

В силу теоремы 1 каждое множество U_b = ^-1 (G ) будет открытым в Х, а { U_b} – открытое покрытие множества Х.

В силу компактности Х, можно выбрать конечное подпокрытие Х

U₁, U₂,…, U_k.

Соответственно, получаем конечное подпокрытие G₁, G₂, …,G_k множества (X).

В силу теоремы 1 § 6 множество (X) – компактно.

Теорема 4. Если – непрерывное отображение компактного пространства Х в хаусдорфово пространство У, то образ (F) любого замкнутого множества F Ì X – замкнут в У.

Доказательство. В силу теоремы 2 § 6 множество F в Х компактно.

В силу теоремы 3 § 6 множество (F) – компактное в У.

В силу теоремы 4 § 6 множество (F) – замкнутое в У.

Дата добавления: 2015-08-13