Примеры метрических пространств

ВВЕДЕНИЕ

В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема – то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть

А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение

r: Х ´ Х ® R,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. " х, у Î Х { r (х, у) ³ 0}, причем r (х, у) = 0 Û х = у.

2. " х, у Î Х { r (х, у) = r (у, х)}.

3. " х, у, z Î Х { r (х, у) + r (у, z) ³ r (х, z)}.

Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Х, r).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х,r) обозначают просто Х.

Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.

ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Пример 1. Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

r(х, у) = .

Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) - метрическое пространство.

Пример 2. Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = | х – у | является метрическим пространством.

Действительно,

r(х, у) = | х – у | ³ 0,

r(х, у) = | х – у | = | у – х | = r(у, х).

| x - y | + | y – z | ³ | x – y + y – z | = | x – z |,

| x - y | + | y – z | ³ | x – z |,

то есть все аксиомы метрического пространства выполняются.

Пример 3. Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у – х)² не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 – 2)² = 1, r(3, 4) = (4 – 3)² = 1,

r(2, 4) = (4 – 2)² = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).

Пример 4. Точками евклидова пространства являются всевозможные упорядоченные множества из действительных чисел .

Пусть .

Докажем, что - метрическое пространство.

Действительно, .

Пусть

.

Следовательно, аксиома 1) выполнена.

Так как выполняется равенство

,

то аксиома 2) выполнена.

Покажем, что в выполнена и аксиома треугольника.

Пусть , , , тогда аксиома треугольника записывается в виде

. (1)

Полагая , , получаем , а неравенство (1) принимает при этом вид

(2)

Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши – Буняковского

. (3)

Действительно, в силу этого неравенства имеем

£

тем самым неравенства (2) и (1) доказаны.

Пример 5. Множество C_[a,b] всех непрерывных действительных функций, определенных на [ a, b ] с расстоянием

r (f, g) = | g(t) – f(t) |

является метрическим пространством.

Действительно, из определения расстояния

r (f, g) = | g(t) – f(t) |

непосредственно следует:

1. r (f, g) ³0, r (f, g) = 0<=> f = g.

2. r (f, g) = r (g, f).

3. Пусть f, g, h – непрерывные функции на [ а, b ].

Тогда

| f – g |, | f – h |, | g – h | –

так же непрерывные функции на промежутке [ а, b ]. Из курса математического анализа известно, что на сегменте они достигают максимума. Пусть

| f (t₀) – g (t₀) | = | f (t) – g (t) |,

| f (t₁) – h (t₁) | = | f (t) – h (t) |,

| h (t₂) – g (t₂) | = | h (t) – g (t) |.

Тогда

| f (t₀) – g (t₀) | = | f (t₀) – h (t₀) + h (t₀) - g (t₀) | £

£ | f (t₀) – h (t₀)| + |h (t₀) - g (t₀) | £

£ | f (t₁) – h (t₁) | +| h (t₂) – g (t₂) |,

то есть

r (f, g) £ r (f, h) +r (h, g).

Таким образом, третья аксиома выполняется, задача решена.

Определение 4. Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х₀ Î Х, r > 0 - действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х₀ и радиусом r множество

U (x₀, r) = {x | x Î X, r (x, x₀) < r }.

Определение 5. Подмножество G Ì Х будем называть открытым в

(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 5. Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Ф_r.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. 1) Объединение любой совокупности { G_a} множеств из Ф_r принадлежит Ф_r.

G Î Ф_r.

2) Пересечение любых двух множеств G₁ и G₂ из Ф_r принадлежит Ф_r.

G₁ ÇG₂ Î Ф_r.

3) Метрическое пространство Х - открытое множество, то есть

Х Î Ф_r, Æ Î Ф_r.

Доказательство. 1) Пусть . Обозначим

G = .

Возьмём произвольную точку х₀ Î G. Тогда существует такое a₀, что х₀ Î , и так как Î Ф_r, то найдётся число r₀, что

U (х₀, r₀) Ì .

Так как G ₀ Ì G, то U (х₀, r₀) Ì G.

Итак, G - открытое множество.

2) Пусть G = G₁ Ç G₂, где G₁, G₂ Î Ф_r и G Æ.

Если х₀ Î G, то х₀ Î G₁ и х₀ Î G₂.

Тогда существуют такие радиусы r₁ и r₂, что

U(х₀, r₁) Ì G_1, U(х₀, r₂) Ì G₂.

Обозначим r = min {r₁, r₂}, тогда

U (х₀, r) Ì G₁ Ç G₂ = G.

Итак, G – открытое множество.

3. Так как всегда можно представить

Х = ,

где U_a - открытый шар радиуса r, с центром в точке , объединение рассматривается по всем точкам пространства, то в силу 1 получим, что пространство Х – открыто. Пустое множество мы предполагаем всегда открытым.

В дальнейшем описанное нами семейство Ф_r всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будем называть топологией, индуцированной метрикой r в Х._.

Теорема 2. Для любых двух различных точек метрического пространства (Х, r) существуют их непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Пусть и (Х, r). Тогда между точками и определено расстояние (по свойству метрики). Взяв , рассмотрим открытые шары и . Легко показать, что . В самом деле, предположим противное. Тогда для точки имели бы , что невозможно. Следовательно, предположение неверно.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-08-13