Понятие подпространства

Если У подмножество Х, а (Х, Ф) – топологическое пространство, то на У можно рассматривать топологию

y = { Ç У | G Î Ф }.

Действительно, обозначим:

S = Ç У, y = { S }.

1. Þ Æ, У Î Y.

2. S = (G Ç У) = ( G )Ç У Î y.

3. S Ç S = (G Ç У) Ç (G Ç У) = (G ÇG ) Ç У Î y.

(У, y) – называют топологическим подпространством пространства (Х, Ф), а y - топологией, индуцированной топологией Ф.

Пример 1. Пусть Е₃ – трёхмерное евклидово пространство. Открытый шар U (M₀, r) с центром М₀ и радиусом r > 0 определяем как множество точек МÎ Е₃:

U (M₀, r), = {М | | M M₀| < r }.

Открытым в Е₃ называется множество G, каждая точка которого является центром открытого шара, целиком лежащего в G.

Пустое множество считается открытым.

В первом параграфе мы показали, что совокупность открытых множеств представляет топологию (обычная топология метрического пространства, то есть порождённая метрикой). Если Е₂ – плоскость в Е₃, то U (M₀, r) Ç Е₂ = w (M₀, r), то есть открытый круг.

Если Е₁ – прямая в Е₃ (или множество R – действительных чисел), то

U (M₀, r) Ç Е₁ = (a, b) - интервал. Соответственно, в Е₂ и Е₁ получаем открытые множества, которые согласуются с данным выше определением открытого множества в Е₃.

Пример 2. Пусть Х = Е³. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусами r, а также все множество Х и пустое множество. Ранее мы доказали, что набор открытых множеств (см. § 2, пример 4) задает топологию Ф_к на Х, то есть (Х, Ф_к) топологическое пространство.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку О и обозначим ее У. Тогда У – подмножество Х и на У индуцируется следующая топология: открытыми множествами будут У, Æ и открытые круги с общим центром О и радиусами r.

Дата добавления: 2015-08-13