Внутренние, внешние и граничные точки

Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство. Открытое множество U называется окрестностью точки х если х Î U (х Î X и U Î Ф).

Определение 4. Точка называется внутренней точкой некоторого множества H (H Ì X), если существует такая окрестность U точки ,что U Ì H. Множество всех внутренних точек множества H обозначается через int H и называется внутренней областью H или внутренностью H.

Определение 5. Точка называется внешней точкой множества H, если существует такая окрестность V точки , в которой нет точек из H, т.е. V Ì С_х H=Х \ H. Множество всех внешних точек множества H обозначается через ext H и называется внешней областью H.

Определение 6. Точка с называется граничной для множеств H, если в любой окрестности точки с имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H.

Множество всех граничных точек множества H обозначается через H и называется границей H.

Очевидно:

int H È ext H È H = X

int H Ç ext H = ext H Ç H = int Ç H = Æ

int H = ext C_x H, ext H = int C_x H

H = C_x H

Теорема 3. Для любого множества H топологического пространства (Х, Ф) имеем

int H Î Ф,ext H Î Ф.

H – замкнутое множество.

Доказательство. По определению для " Î int H существует окрестность U_ точки такая, что U_ Ì H.

Поскольку открытое множество является окрестностью любой своей точки, то U_ Ì int H, то есть U_ состоит только из внутренних точек H.

Тогда int H = U_ и в силу аксиомы 2 топологического пространства получим int H Î Ф.

Так как ext H = int (X \ H), то получаем ext H Î Ф.

Так как H = X \ (int H È ext H), то H замкнуто в (Х, Ф).

Определение 7. Точка называется точкой прикосновения множества H, если каждая окрестность точки имеет с H хотя бы одну общую точку.

Множество всех точек прикосновения множества H называется замыканием множества H и обозначается . Ясно, что = int H È H и является замкнутым множеством.

Определение 8. Точка Î H называется изолированной точкой множества H, если существует окрестность U точки , такая, что

U Ç H = {}

Определение 9. Если Î и не является изолированной для H, то она называется предельной точкой множества H.

Ясно, что в каждой окрестности предельной точки Î H существуют точки множества H, отличные от .

Поскольку замыкание распадается на множество изолированных и предельных точек, а первое всегда содержится в H, то приходим к следующему утверждению:

Теорема 4. Множество H замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, то есть, если

H =

Действительно, если H – замкнуто, то C H = X \ H открыто. Поэтому C H = ext H.

Отсюда получаем

H = int H È ∂ H = .

Теорема 5. Если замкнутое множество F содержит множество H, то F содержит и .

Доказательство. Так как H Ì F, то все предельные точки H будут являться предельными и для F, а поэтому они принадлежат F, следовательно

Ì F.

Следствие. Замыкание множеств H есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих H.

Действительно, согласно теореме 5 принадлежит любому замкнутому множеству, содержащему H, а по теореме 3 из §3 - замкнутое множество.

Пример 1. Если (Х, Ф) – антидискретное топологическое пространство, то внутренность любого его подмножества, за исключением самого Х, пустое множество.

Если (Х, Ф) – дискретное пространство, то любое его подмножество открыто и замкнуто одновременно и, следовательно, совпадает со своей внутренностью и со своим замыканием.

Если X = R с обычной топологией, то внутренность множества всех целых чисел пустое множество.

Внутренность множества рациональных чисел – пустое множество. Поэтому получаем, что замыкание = R, а замыкание внутренности множества рациональных чисел = Æ, при этом int = R.

Таким образом, замыкание внутренности множества может сильно отличаться от внутренности замыкания.

Таким образом, оператор перехода к внутренности и оператор замыкания, вообще говоря, не коммутируют.

Если Х – антидискретно и А Ì Х, А ¹ Æ, то ¶А = Х.

Если Х – дискретно и А Ì Х, А ¹ Æ, то ¶А = Æ.

Границей множества рациональных чисел, так же как и границей множества всех иррациональных чисел, служит всё множество вещественных чисел.

Пример 2. Пусть , , Найти и все замкнутые множества.

Решение.

Рассмотрим точку и выберем из списка открытых множеств , такое которое содержит точку и входит в . Очевидно, следовательно, . Для точки такого открытого множества нет. Следовательно, . Точка и поэтому . Итак окончательно получаем .

.

. Найдем .

Рассуждая аналогично, получаем, что . Для точки нет открытого множества содержащегося в . Следовательно, , . Для нахождения граничных точек воспользуемся формулой или .

.

Напомним, что множество называется замкнутым, если его дополнение открыто, т.е. - замкнуто . Возьмем список открытых множеств и, используя дополнения, составим список замкнутых множеств .

.

Ответ: , , , .

Теорема 6. Пусть А – подмножество топологического пространства (Х, Ф). Тогда:

1) А = Ç = \ int A.

2) Х \ A = int A È int (Х \ A).

3) = А È А, int A = А \ А.

4) А = Û А Ì А.

А = int А Û А Ç А = Æ.

Доказательство непосредственно следует из определения , int A, ext A и А.

Определение 10. Множество H называется всюду плотным в топологическом пространстве (Х, Ф), если = X.

Множество А называется нигде не плотным в пространстве(Х, Ф), если дополнение к замыканию А всюду плотно в Х, то есть = Х

Теорема 7. Пусть H Ì X, Ф = {G }

Тогда = Х Û H Ç ¹ Æ для любого ¹ Æ.

Доказательство.

1) = Х. Тогда для произвольного открытого множества имеем Ì .

Если х₀ Î , то х₀ Î . Но, согласно определению точки прикосновения, имеем

Ç H ¹ Æ

2) Пусть для любого ¹ Æ: Ç H ¹ Æ.

Покажем, что Х Ì . Действительно, если х₀ Î Х и х₀ Ï H, то для любой окрестности точки х₀ имеем:

Ç H ¹ Æ,

а это значит, что

х₀ Î и Х Ì .

Так как всегда Ì Х, то Х = .

Дата добавления: 2015-08-13