Базис. Аксиомы отделимости

Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство, и пусть G^* ={G }- некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве. Если любое открытое множество в (Х, Ф) представимо в виде объединения некоторых множеств G^*, то G^* называется базисом топологического пространства (Х, Ф) или базой.

Теорема 1. Для того, чтобы семейство G^* ={G } Ì F было базисом топологического пространства (Х, Ф) необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Î Х и любой её окрестности U_a существовало множество G_a Î G^* такое, что Î G_a и G_a Ì U_a.

Доказательство. Необходимость. Пусть дана точка Î Х и её окрестность U_a, G^* ={G } - базис. Так как U_a Î Ф, то согласно определения базиса

U_a = .

Так как

Î U_a,

то найдется G_a , что

Î G_a Ì U_a.

Достаточность. Пусть множество С Î F. Тогда для любой точки Î С найдётся такое множество G_a Î G^*, что

Î G_a Ì С Þ С = G_a .

Теорема доказана.

Теорема 2. Для того, чтобы семейство подмножеств G^* = {G } было базисом некоторого топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов U_, V Î G^* и каждой точки хÎ U Ç V существовал такой элемент W Î G^*, что х Î W и W Ì U Ç V. При этом Æ Î G^* и G = X.

Доказательство. 1. Пусть G^* – база. Тогда, так как U Ç V – открытое множество, то согласно теореме 1 существует W такое, что W Î G^* и х Î W Ì U Ç V.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть G^* - семейство с выделенными нами специальными свойствами. В – семейство всевозможных объединений элементов из G^*. Покажем, что В – топология. Ясно, что объединение любой совокупности элементов из В является объединением элементов из G^*, а, следовательно, принадлежит В.

Пересечение любых двух элементов U и V из В также принадлежит В.

Действительно, если х₀ Î U Ç V, то существует U¢ Î G^* и V¢ Î G^* такие, что U^¢ Ì U, V¢ Ì V и х₀ Î U¢ Ç V¢. Тогда по условию существует

W Î G^*, для которого

х₀ Î W Ì U¢ Ç V¢ Ì U Ç V.

Но, тогда

U Ç V = Î В.

Кроме того,

Х = G Î В.

Итак, В – топология, а G^* её базис.

Теорема доказана.

Из предыдущих теорем следует, что не всякое семейство G^* может служить базой топологии. Возникает вопрос: можно ли по произвольному семейству {G_i} множеств определить некоторую топологию? Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющимся объединением всех элементов {G_i}, каждый элемент из {G_i} должен быть открыт в этой топологии.

Кроме того, возникает вопрос: существует ли наименьшая топология на Х, содержащая {G_i}? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть G^* = {G_i} - произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^* образует базу некоторой топологии на множестве Х = G_i.

Доказательство. Обозначим В – семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G^*. Тогда пересечение любых двух элементов из В снова является элементом В. В силу теоремы 2 получим, что В – база некоторой топологии.

Теорема доказана.

У пространств, топология которых обладает счетной базой, есть много хороших свойств.

Примеры. 1. В любом топологическом пространстве (Х, Ф) множество Ф – база (очевидно).

2. (R, ), –топология, заданная метрикой.

G^* = {Æ, всевозможные интервалы} – база.

3. (Х. Ф) дискретная топология.

G^* = {Æ} È {{х}| х Î Х} – база.

Дата добавления: 2015-08-13