Связность топологических пространств

Определение 1. Топологическое пространство (Х, Ф) называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества U и V таких, что U È V = Х и U Ç V = Æ.

Другими словами топологическое пространство (Х, Ф) может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих между собой общих точек.

Топологическое пространство (Х, Ф) называется связным, если не существует такого разбиения.

Пример. Х= (, b), (X, Ф) – связное топологическое пространство, если Ф = {Æ, Х, } и, если Ф = {Æ, Х, , b}– то это пример несвязного топологического пространства.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества U и V, U Ç V = Æ, то U = C_x V и V = C_x U.

Поэтому U и V – замкнутые множества.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия.

Теорема 1. Топологическое пространство (X, Ф) будет связным тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытым и замкнутым множеством являются лишь само пространство или пустое множество.

Определение 2. Множеством М в топологическом пространстве называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии, то есть связно определяемое им подпространство.

Другими словами, множеством М в топологическом пространстве Х называется связным, если нельзя найти двух открытых в Х множеств G₁ и G₂ таких, что

1. (G₁ Ç М) È (G₂ Ç М) = М.

2. (G₁ Ç М) Ç (G₂ Ç М) = Æ.

3. G₁ Ç М ¹ Æ, G₂ Ç М ¹ Æ.

Теорема 2. В топологическом пространстве (Х, Ф) замыкание связного множества – связно.

Доказательство. Пусть H – связное множество в топологическом пространстве Х.

Предположим, что - несвязно, тогда существуют открытые в Х множества U и V такие, что

= ( Ç U) È ( Ç V),

( Ç U) Ç ( Ç V) = Æ,

Ç U ¹ Æ, Ç V ¹ Æ.

Так как

H Ì ,

то

H Ç (V Ç ) = H Ç V,

H Ç (U Ç ) = H Ç U,

H = H Ç = H Ç (( Ç U) È ( Ç V))=

= (H Ç ( Ç U)) È (H Ç ( Ç V))=

= (H Ç U) È (Н Ç V).

Следовательно,

H = (H Ç U) È (H Ç V).

Кроме того,

(H Ç U) Ç (H Ç V) Ì ( Ç U) Ç( Ç V) = Æ,

поэтому

(H Ç U) Ç (H Ç V) = Æ.

Поскольку H всюду плотно в , то, как ранее доказано (§ 3, теорема 6),

H Ç U ¹ Æ и H Ç V ¹ Æ.

Итак, H – несвязное подмножество, что противоречит условию.

Следовательно, предположение неверно и связное множество.

Теорема 3. Если А и В два открытых множества в (Х, Ф), причем

А Ç В = Æ

и непустое связное множество

H Ì A È B,

то H Ì A, или H Ì В.

Доказательство. Пусть H Ç А ¹ Æ и H Ç В ¹ Æ. Тогда, поскольку

H Ì A È B,

то

H = H Ç(A È B) = (H Ç А) È (H Ç В).

Так как

(H Ç А) Ç (H Ç В) Ì A Ç B =Æ,

то

(H Ç А) Ç (H Ç В) =Æ.

И, следовательно, Н – несвязное множество.

Таким образом, получили противоречие с условием теоремы.

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть { } - совокупность связных подмножеств в пространстве (Х, Ф), имеющих общую точку. Тогда множество H = также будет связным в (Х, Ф).

Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют U и V – открытые в (Х, Ф) множества такие, что

1. (U Ç H) È (V Ç H) = H,

2. (U Ç H) Ç (V Ç H) = Æ,

3. U Ç H ¹ Æ, V Ç H ¹ Æ.

Тогда, для любого a имеем:

= Ç H =

= Ç ((U Ç H) È (V Ç H)) =

= ( Ç U Ç H) È( Ç V Ç H) =

= ( Ç U) È ( Ç V).

Таким образом,

= ( Ç U) È ( Ç V).

Учитывая, что Ç U и Ç V – открыты в , получим

( Ç U) Ç ( Ç V) Ì (H Ç U) Ç (H Ç V) = Æ.

Но, так как - связно, то согласно теореме 3, либо

Ç U = Æ,

либо

Ç V = Æ,

то есть каждое содержится либо в U, либо в V.

Предположим, что

H Ì U, Ì V.

Тогда

H Ç Ì (H Ç U) Ç (H Ç V) = Æ.

Но это противоречит условию, так как у них есть общая точка.

Итак, для любого a либо все Ì U, либо все Ì V.

Предположим, что

Ç U = Æ,

тогда

H Ç U Ì ( Ç U) = Æ,

а это противоречит условию (3).

Теорема доказана.

Пусть теперь – произвольная точка топологического пространства

(Х, Ф). {Н } – совокупность всех связных множеств, каждое из которых содержит точку . Тогда согласно теореме 4

H =

является наибольшим связным множеством, содержащим точку , то есть такое, которое содержит любое связное подмножество, содержащее точку .

Это наибольшее связное множество, содержащее точку , называется компонентой точки в топологическом пространстве (Х, Ф).

Если Н и Н_b – компоненты точек и , и

Н Ç Н_b ¹ Æ,

то

Н È Н_b = Н = Н_b,

так как Н È Н_b - связное множество, а Н и Н_b – компоненты связности.

Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Компоненты двух различных точек либо не пересекаются, либо совпадают.

Теперь мы можем говорить просто о компонентах пространства, на которые они распадаются.

Теорема 6. Компонента топологического пространства (Х, Ф) является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть Н – компонента топологического пространства (Х, Ф), и – некоторая ее точка.

Очевидно

Н Ì ,

В силу теоремы 2 множество – связно и так как Î , то

Ì Н.

Поэтому

= Н.

Замечание. Пусть топологическое пространство (Х, Ф) – несвязное, то есть существуют два непустых открытых множества U и V таких, что

U È V = Х

и

U Ç V = Æ.

Если при этом различные точки х и у принадлежат одной компоненте, то {x, y} Ì U или {x, y} Ì V.

Это утверждение вытекает из теоремы 3.

Определение 3. Областью называется непустое связное открытое множество топологического пространства.

Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Пример 1. Пусть Х - множество действительных чисел с топологией . Доказать, что любое подмножество связно.

Доказательство. Рассмотрим произвольное подмножество . Пусть – непустое подмножество , открытое и замкнутое в . Тогда

= ,

где открыто в , а замкнуто в Х, т.е. для некоторого , а для некоторого . Так как

,

то для любого выполнены неравенства и .

Действительно, если найдется значение , то . Аналогично, если найдется значение , то .

Итак, и , откуда следует, что связно.

Пример 2. Доказать, что множество рациональных чисел на прямой R несвязно.

Доказательство. Пусть – произвольное иррациональное число. Тогда множества

и

не пусты, открыты и не пересекаются. Таким образом, разложение означает несвязность .

Пример 3. Доказать, что отрезок числовой оси R связное множество.

Доказательство. Рассмотрим топологическое пространство с топологией R. Предположим, что Х несвязно:

Æ,

где не пустые и открытые (и одновременно замкнутые) множества. Пусть . Будем рассматривать отрезки , где Î . Когда близко к , то , так как открыто. Точную верхнюю грань этих значений обозначим через , ясно, что . Если , то близкие к точки (слева и справа) тоже лежат в , что противоречит определению .

Следовательно, . Однако, по определению невозможно включение .

Таким образом, получаем противоречие с равенством

.

Дата добавления: 2015-08-13