Пример. Топологии Ф1 и Ф2 несравнимы.

Х = ,

Ф₁ = {Æ, Х, },

Ф₂ = {Æ, Х, }.

Топологии Ф₁ и Ф₂ несравнимы.

Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий, заданных на Х, является топологией в Х. Эта топология Ф слабее любой из данных топологий Ф .

Доказательство. Пусть .

Так как для любого a

{ Х, Æ} Ì Ф ,

то

{ X, Æ} Ì Ф.

Далее, из того, что каждое Ф замкнуто относительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и множество .

Теорема 2. Пусть А – произвольная система подмножеств множества Х. Тогда существует минимальная топология в Х, содержащая А.

Действительно, всегда существуют топологии, содержащие А, например, дискретная. Пересечение всех топологий, содержащих А и есть искомая топология. Эта минимальная топология называется топологией, порождённой системой А.

Дата добавления: 2015-08-13